2023-甲卷理-02 单-复数相等

本题导读

本题考查复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷理）设 $a\in \mathbb{R}$，$(a+\text{i})(1-a\text{i})=2$，则 $a=$（ ）

A. $-2$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 利用乘法分配律展开等式左侧的复数乘式。
2. 应用 ${\text{i}}^2=-1$ 将复数整理为实部与虚部分离的标准形式。
3. 根据复数相等的充要条件，令实部等于 2，虚部等于 0，求解参数 $a$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

展开等式左侧的复数乘积： $(a+\text{i})(1-a\text{i})=a-a^2\text{i}+\text{i}-a{\text{i}}^2$

将 ${\text{i}}^2=-1$ 代入并化简： $=a-a^2\text{i}+\text{i}-a(-1)$ $=2a+(1-a^2)\text{i}$

根据复数相等的充要条件，实部与虚部分别相等，由原方程可得方程组： $\{\begin{array}{l}2a=2\\ 1-a^2=0\end{array}$

由第一式解得 $a=1$，代入第二式 $1-1^2=0$ 验算成立。 故 $a=1$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数乘法法则、复数相等的条件。
2. 核心方法：实虚部分离法、方程建模法。
3. 避坑指南：展开时注意 $-\text{i}\cdot a\text{i}=-a{\text{i}}^2=+a$，避免因符号失误导致实部计算错误。求出结果后应同时满足虚部为 0，以确保逻辑完备。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查复数集中的基本代数运算，为高考卷首的常规基础题。
2. 结论推广：处理含参复数等式的一般策略为“复数问题实数化”。将等式两端化为标准形式 $A+B\text{i}=C+D\text{i}$，利用复数相等的定义抽离出实数方程组 $\{\begin{array}{l}A=C\\ B=D\end{array}$ 求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-01 单-复数的除法运算
• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数
• 1989-全国卷理-07 单-复数与共轭的模