2023-甲卷理-04 单-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量数量积的运算律，以及平面向量的数乘及线性组合。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷理）已知向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 满足 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$，$|\vec{c}|=\sqrt{2}$，且 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$，则 $\cos ⟨\vec{a}-\vec{c},\vec{b}-\vec{c}⟩$= ()

A. $-\frac{4}{5}$　　　　　　B. $-\frac{2}{5}$　　　　　　C. $\frac{2}{5}$　　　　　　D. $\frac{4}{5}$

🔍【思路分析】

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1. 求解两两数量积：由 $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$ 两边平方，利用模的关系求出 $\vec{a}\cdot \vec{b}$。同理可求出 $\vec{a}\cdot \vec{c}$ 和 $\vec{b}\cdot \vec{c}$。

2. 化简目标向量：令 $\vec{u}=\vec{a}-\vec{c}$，$\vec{v}=\vec{b}-\vec{c}$。利用 $\vec{c}=-(\vec{a}+\vec{b})$ 进行代换，将目标向量统一用基底 $\vec{a},\vec{b}$ 表示。

3. 计算模长与点积：分别计算 $|\vec{u}|,|\vec{v}|$ 以及 $\vec{u}\cdot \vec{v}$。

4. 应用夹角公式：代入 $\cos \theta =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$ 求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

1. 确定基底向量的数量积关系：

因为 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$，所以 $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$．

两边平方得：$(\vec{a}+\vec{b}{)}^2=(-\vec{c}{)}^2$

${\vec{a}}^2+{\vec{b}}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}={\vec{c}}^2$

代入 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=1,|\vec{c}|=\sqrt{2}$：

$1+1+2\vec{a}\cdot \vec{b}=2⟹2\vec{a}\cdot \vec{b}=0⟹\vec{a}\cdot \vec{b}=0$

这说明 $\vec{a}\perp \vec{b}$．

2. 化简目标向量：

已知 $\vec{c}=-\vec{a}-\vec{b}$，代入待求夹角的两个向量：

• $\vec{u}=\vec{a}-\vec{c}=\vec{a}-(-\vec{a}-\vec{b})=2\vec{a}+\vec{b}$

• $\vec{v}=\vec{b}-\vec{c}=\vec{b}-(-\vec{a}-\vec{b})=\vec{a}+2\vec{b}$

3. 计算模长与数量积：

利用 ${\vec{a}}^2=1,{\vec{b}}^2=1,\vec{a}\cdot \vec{b}=0$：

• 求模长：

  |\vec{u}|^2 = (2\vec{a} + \vec{b})^2 = 4\vec{a}^2 + 4\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2 = 4(1) + 0 + 1 = 5 \implies |\vec{u}| = \sqrt{5}$$$$|\vec{v}|^2 = (\vec{a} + 2\vec{b})^2 = \vec{a}^2 + 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4\vec{b}^2 = 1 + 0 + 4(1) = 5 \implies |\vec{v}| = \sqrt{5}

• 求数量积：

  \vec{u} \cdot \vec{v} = (2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = 2\vec{a}^2 + 4\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + 2\vec{b}^2$$$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2(1) + 0 + 0 + 2(1) = 4

4. 计算夹角余弦值：

$\cos ⟨\vec{a}-\vec{c},\vec{b}-\vec{c}⟩=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\frac{4}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{4}{5}$

结论：

对应选项 D 正确．

【解法二】【坐标法】

根据题意，设$\overrightarrow{a}=(1,0),\overrightarrow{b}=(0,1),\overrightarrow{c}=(-1,-1)，$

$则\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}=(2,1),\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=(1,2)$

所以$\cos <(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}),(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})>=\frac{2+2}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=\frac{4}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的线性运算、数量积的平方展开、向量夹角公式。
2. 核心方法：整体平方化法、坐标建系法。
3. 避坑指南：在代数代换消去 $\vec{c}$ 时，需注意减法运算中的符号分配。最后一步代入夹角公式时，分母为两个模长相乘 $|\vec{u}||\vec{v}|=5$，切勿混淆带入 $|\vec{u}{|}^2+|\vec{v}{|}^2$ 等错误数据。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查平面向量的综合代数计算，几何背景为以 $\vec{a},\vec{b}$ 为直角边，$-\vec{c}$ 为斜边的等腰直角三角形。
2. 结论推广：凡是给出若干向量其和为零向量（$\sum {\vec{x}}_i=\vec{0}$）且已知各向量模长的题目，均蕴含了各向量之间两两垂直或夹角固定的几何约束。处理此类问题，当发现其中存在两两垂直（数量积为 0）的特异性组合时，通过特值建系化（坐标法）通常是避免抽象化简、提高运算准确度的最快路径。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2010-山东卷文-12 单-向量新定义运算
• 2005-江苏卷-18 填-平面向量的线性运算