2023-甲卷理-05 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的前 n 项和，以及等比数列的通项公式。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷理）设等比数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数，前 $n$ 项和为 $S_n$．若 $a_1=1$，$S_5=5S_3-4$，则 $S_4=$()

A. $\frac{15}{8}$　　　　　　B. $\frac{65}{8}$　　　　　　C. $15$　　　　　　D. $40$

🔍【思路分析】

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1. 判定公比范围：题目给出各项均为正数且 $a_1=1$，则公比 $q>0$。

2. 建立方程：利用等比数列前 $n$ 项和公式（或直接列出各项累加），将 $S_5=5S_3-4$ 转化为关于 $q$ 的代数方程。

3. 求解公比 $q$：对高次方程进行因式分解，结合 $q>0$ 筛选出唯一的公比值。

4. 计算目标值：代入 $q$ 到 $S_4$ 的表达式中计算得出结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

1. 建立关于 $q$ 的方程：

设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$．由于各项均为正数且 $a_1=1$，故 $q>0$．

由 $a_n=a_1{q}^{n-1}=q^{n-1}$，可得：

$S_3=1+q+q^2$

$S_5=1+q+q^2+q^3+q^4$

代入已知等式 $S_5=5S_3-4$：

$1+q+q^2+q^3+q^4=5(1+q+q^2)-4$

2. 化简并求解方程：

展开右侧：

1 + q + q^2 + q^3 + q^4 = 5 + 5q + 5q^2 - 4$$$$1 + q + q^2 + q^3 + q^4 = 1 + 5q + 5q^2

消去两边的 $1$，并将项移至左侧：

$q^4+q^3-4q^2-4q=0$

提取公因式 $q$（已知 $q\ne 0$）：

$q(q^3+q^2-4q-4)=0$

对括号内进行分组分解：

q^2(q + 1) - 4(q + 1) = 0$$$$(q^2 - 4)(q + 1) = 0$$$$(q - 2)(q + 2)(q + 1) = 0

3. 确定公比 $q$：

因为数列各项为正数，所以 $q>0$．

综上所述，解得 $q=2$．

4. 计算 $S_4$：

S_4 = 1 + q + q^2 + q^3$$$$S_4 = 1 + 2 + 4 + 8 = 15

．

（或者利用公式 $S_4=\frac{1(1-2^4)}{1-2}=\frac{-15}{-1}=15$）

结论：

对应选项 C 正确．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列求和公式、高次方程的因式分解。
2. 核心方法：基本量方程法、分组分解法。
3. 避坑指南：解方程可得多个根，必须根据“各项均为正数”判定 $q>0$，从而排除增根。在项数较少时，直接展开 $S_n$ 往往比套用分式求和公式更利于化简。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查等比数列基本量的代数运算，侧重于方程思想的应用。
2. 结论推广：等比数列前 $n$ 项和的关系可转化为项的片段和。已知 $S_5-S_3=a_4+a_5=q^3(a_1+a_2)=q^3{S}_2$，原式可化为 $q^3{S}_2=4(S_3-1)=4(q+q^2)=4q{S}_2$。因 $q>0,S_2>0$，两端约简直接得 $q^2=4⟹q=2$，可大幅简化高次方程的化简过程增。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2013-北京卷理-10 填-等比数列通项
• 2013-新课标II卷理-03 单-等比数列通项