2023-甲卷理-06 单-条件概率

本题导读

本题考查互斥事件与任意两个事件的并集概率，以及条件概率及其计算公式。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷理）某地的中学生中有 $60\%$ 的同学爱好滑冰，$50\%$ 的同学爱好滑雪，$70\%$ 的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（）

A. $0.8$　　　　　　B. $0.6$　　　　　　C. $0.5$　　　　　　D. $0.4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设定事件并列出已知概率：

   • 设事件 $A$ 为“同学爱好滑雪”，则 $P(A)=50\%=0.5$．

   • 设事件 $B$ 为“同学爱好滑冰”，则 $P(B)=60\%=0.6$．

   • 设事件 $A\cup B$ 为“同学爱好滑冰或爱好滑雪”，则 $P(A\cup B)=70\%=0.7$．

2. 求解积事件概率：利用并集概率公式 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$，计算出“既爱好滑雪又爱好滑冰”的概率 $P(AB)$．

3. 计算条件概率：题目要求“若该同学爱好滑雪，则其也爱好滑冰”的概率，即计算 $P(B\mid A)$．根据公式 $P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ 得出结果．

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

1. 计算同时爱好两项的概率 $P(AB)$：

根据概率的加法公式：

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

代入已知数据：

0.7 = 0.5 + 0.6 - P(AB)$$$$0.7 = 1.1 - P(AB)

解得：

$P(AB)=0.4$

这说明既爱好滑冰又爱好滑雪的同学占 $40\%$．

2. 计算条件概率 $P(B\mid A)$：

题目所求是在“爱好滑雪（事件 $A$）”发生的条件下，“爱好滑冰（事件 $B$）”发生的概率：

$P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$

代入数值：

$P(B\mid A)=\frac{0.4}{0.5}=0.8$

3. 结论：

该概率为 $0.8$，对应选项 A 正确．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：并集概率公式 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$、条件概率公式 $P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$。
2. 核心方法：公式代数运算法、Venn图集合分析法。
3. 避坑指南：需准确识别条件概率的条件事件与目标事件。题干中“若该同学爱好滑雪”为条件，故条件概率的分母必须是 $P(A)=0.5$，不可误用 $P(B)=0.6$ 或全局总数 $1$ 作为分母。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查经典概率论中的基本事件关系与条件概率，侧重考查基本公式的准确应用，属于高考概率模块的中档常考题型。
2. 结论推广：条件概率 $P(B\mid A)$ 的几何实质是样本空间的缩减。原本的总体样本空间 $U$ 缩减为条件事件 $A$ 所占的区域。在此区域内，目标事件 $B$ 所占的比例即为 $\frac{P(AB)}{P(A)}$。在实际应用中，亦可采用频数或占总体的百分比直接进行缩减样本空间法求解，即 $\frac{40\%}{50\%}=0.8$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2007-山东卷理-18 解-条件概率
• 2010-江西卷文-18 解-迷宫行走概率
• 2011-四川卷文-17 解-分段费用独立事件