2011-四川卷文-17 解-分段费用独立事件

本题导读

本题考查相互独立事件，以及互斥事件。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(文)） 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多. 某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费 $2$ 元（不足 $1$ 小时的部分按 $1$ 小时计算）. 有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）. 设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 $\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 $\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$；两人租车时间都不会超过四小时.

(1)分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；

(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于 $6$ 元的概率.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：（1）用对立事件求「3 小时以上且不超过 4 小时」的概率
2. 步骤2：（2）对「费用之和小于 6 元」的各类组合用互斥与独立求和

✅【答案】

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(1) 甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 $\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$

(2) $\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设「甲在三小时以上且不超过四小时还车」为事件 $A$，「乙在三小时以上且不超过四小时还车」为事件 $B$。 由对立事件：$P(A)=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，$P(B)=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$。 （2）记两人所付费用之和小于 $6$ 元为事件 $C$。 费用档位：不超过两小时付 $0$ 元，两到三小时付 $2$ 元，三到四小时付 $4$ 元。 「费用之和小于 $6$ 元」的对立事件 $\overline{C}$ 为「费用之和大于或等于 $6$ 元」，即一人付 $4$ 元且另一人付 $2$ 元或 $4$ 元： $P(\overline{C})=P({甲}_4{乙}_2)+P({甲}_2{乙}_4)+P({甲}_4{乙}_4)$ $=\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{16}+\frac{2}{16}+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$。 故 $P(C)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对立事件概率和为 1；相互独立事件概率的乘法；互斥事件概率的加法；「至多至少」用对立面转化。

核心方法：先补齐费用档位的概率 → 正面枚举或对立面计数 → 独立乘、互斥加。

避坑指南：费用档位与还车时段一一对应（0、2、4 元），「小于 6 元」的对立面是「4+2」「2+4」「4+4」三种组合，漏掉任何一种都会把 $\frac{3}{4}$ 算错；甲乙费率档不同（$\frac{1}{2}$ 与 $\frac{1}{4}$），位置不能对调。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：收费分段背景的独立事件概率题，2012 重庆卷文 18、2011 大纲卷文 19 与本题同构，都是「分档 + 对立」的两问结构。

结论推广：若改问「费用之和恰为 4 元」，则 $P=P({甲}_0{乙}_4)+P({甲}_2{乙}_2)+P({甲}_4{乙}_0)=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{8}$，可与本题答案构成分布列验算（总概率 1）。

方法推广：分段收费概率题先把「时段—费用」对照表写出，再决定正面枚举还是对立面；两人独立一律用乘法拆开。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-18 解-相互独立事件概率
• 2011-大纲卷文-19 解-独立事件概率
• 2013-大纲卷文-20 解-独立事件概率