2023-甲卷理-09 单-排列组合

本题导读

本题考查分步乘法计数原理，以及组合数公式与应用。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷理）现有 $5$ 名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这 $5$ 人中安排 $2$ 人参加公益活动，则恰有 $1$ 人在这两天都参加的不同安排方式共有（）

A. $120$种　　　　　　B. $60$种　　　　　　C. $30$种　　　　　　D. $20$种

🔍【思路分析】

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1. 任务拆解：要完成这个安排，可以分为三个标准化步骤。

2. 选出核心人员：首先从 $5$ 人中选出那个“两天都参加”的幸运儿。

3. 安排周六剩余名额：在剩下的 $4$ 人中选出 $1$ 人在周六陪同。

4. 安排周日剩余名额：在剩下的 $3$ 人（为了保证“恰有 $1$ 人”重复，周日的第二个人不能是刚才周六选出的那个人）中选出 $1$ 人在周日陪同。

5. 汇总计算：利用分步乘法计数原理将各步结果相乘。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

分步计数逻辑如下：

第一步：选出那个在两天都参加的人

从 $5$ 名志愿者中随机抽取 $1$ 人，作为在这两天都参加公益活动的人员：

方法数为：${\text{C}}_5^1=5$ 种．

第二步：安排星期六的另外一名志愿者

在选出上述核心人员后，还剩下 $4$ 名志愿者。从这 $4$ 人中选出 $1$ 人参加星期六的活动：

方法数为：${\text{C}}_4^1=4$ 种．

第三步：安排星期日的另外一名志愿者

为了保证“恰有 1 人”在这两天都参加，星期日的第二名志愿者必须从剩余的 $3$ 人中产生（即不能选刚才参加过周六活动的那个人，否则就会有 2 人重复）：

方法数为：${\text{C}}_3^1=3$ 种．

第四步：计算总数

根据分步乘法计数原理，总的安排方式共有：

$N=5\times 4\times 3=60$

种．

结论：

对应选项 B 正确．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分步乘法计数原理、有条件限制的组合问题。
2. 核心方法：特殊元素优先法（先处理重复参加的人）。
3. 避坑指南：

• 排他性忽视：第三步选择周日人员时，可供选择的基数必须由 4 人减至 3 人。若误用 ${\text{C}}_4^1$，则包含了“周六周日两人均相同”的情况，违背了“恰有 1 人”的限制条件。
• 思维转化：本题亦可理解为先在 5 人中选 1 人重复（${\text{C}}_5^1$），再从余下 4 人中选出 2 人分配到周六和周日（${\text{A}}_4^2$），即 $5\times {\text{A}}_4^2=60$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查经典组合数学中的元素分配模型，是高考排列组合板块中针对限定条件计数的常规中档题。
2. 结论推广：处理“共有 $M$ 个元素，分成 $N$ 组，要求恰有 $k$ 个元素重复出现”的计数模型时，通用范式为：先通过组合数抽离出这 $k$ 个重复的特殊元素，随后在余下的集合中利用不重不漏的原则，采用排他性选元或排列的方法去填补各组空缺。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2014-四川卷理-06 单-分类加法计数原理
• 2020-上海卷-09 填-组合数公式
• 1989-全国卷理-12 单-排列计数