本题导读
本题考查可行域，以及最优解。
📌【题干】
Question
（2023年甲卷理）若 满足约束条件 ，则 的最大值为 ________．
🔍【思路分析】
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绘制可行域：根据不等式组，在平面直角坐标系中画出对应的三条直线，并确定它们围成的可行域区域（通常为一个多边形）。
确定顶点坐标：由于目标函数是线性的，最大值必然在可行域的顶点处取得。通过联立直线方程求出所有顶点的坐标。
分析目标函数：将 转化为斜截式 。由于 轴截距 与 正相关，我们需要寻找使直线向右上方平移最远的点。
计算并比较：将各顶点坐标代入目标函数，比较结果得出最大值。
✅【答案】
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✍【详细解析】
Abstract
1. 绘制可行域与求交点：
约束条件对应的边界直线分别为：
联立直线方程求交点：
点 ：联立 与 ：
相加得 ，代入得 ．故 ．
点 ：联立 与 ：
相加得 ．故 ．
点 ：联立 与 ：
相加得 ．故 ．
可行域为以 为顶点的三角形区域及其内部。
2. 寻找最优解：
目标函数 。
观察目标函数的系数均为正数，且可行域在第一象限延伸，最大值点显然位于远离原点的顶点 处。
3. 计算最大值：
将 代入目标函数：
4. 校验其他顶点：
代入 ：；
代入 ：．
比较可知， 为最大值。
结论：
答案填入 ．
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：二元一次不等式组表示的平面区域、线性目标函数的最值几何意义。
- 核心方法：数形结合法、顶点代入法。
- 避坑指南：
- 计算失误：联立方程消元时需注意系数正负号，避免交点坐标计算错误。
- 截距符号陷阱：本题目标函数中 的系数为 ，故 的最大值对应截距最大值（平移直线至可行域最高点）；若 的系数为负，则最大值对应截距最小值。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题考查运筹学中线性规划的核心代数模型，是高考填空题中常规的必得分基础题。
- 结论推广：凸多边形可行域内的线性目标函数，其最优解（极大值与极小值）必然在可行域的边界顶点或边界线段上取得。在填空选择题型中，直接求出所有边界交点并进行数值代入比较，是避开作图误差、保证正确率的最优解题路径。
🔗【关联脉络】
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