2014-大纲卷理-14 填-线性规划

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域以及目标函数的最值问题。通过作图确定可行域，利用目标函数的几何意义（截距）确定最优解所在的顶点。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(理)） 设 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y\ge 0\\ x+2y\le 3\\ x-2y\le 1\end{array}$，则 $z=x+4y$ 的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出可行域：根据二元一次不等式组，在坐标系中画出对应的半平面交集，确定封闭（或不封闭）的多边形区域。

2. 分析目标函数：将 $z=x+4y$ 变形为直线的斜截式：$y=-\frac{1}{4}x+\frac{z}{4}$。

3. 几何意义转化：目标函数 $z$ 的最大值对应直线在 $y$ 轴上截距 $\frac{z}{4}$ 的最大值。

4. 寻找最优解点：观察可行域的顶点，通过平移直线法确定使截距最大的点，联立方程求出该点坐标并计算 $z$。

✅【答案】

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$5$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：作图确定可行域

约束条件对应的三条边界直线分别为：

$L_1:x-y=0$

$L_2:x+2y=3$

$L_3:x-2y=1$

可行域是一个由顶点组成的三角形区域。

第二步：确定最优解位置

目标函数 $z=x+4y$，化为 $y=-\frac{1}{4}x+\frac{z}{4}$。该直线斜率为 $-\frac{1}{4}$，随 $z$ 增大而向上平移。

比较各边界直线的斜率：

• $k_1=1$

• $k_2=-\frac{1}{2}$

• $k_3=\frac{1}{2}$

  因为 $-\frac{1}{2}<-\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$，通过平移可知，直线 $y=-\frac{1}{4}x+\frac{z}{4}$ 在经过直线 $L_1$ 与 $L_2$ 的交点时，纵截距最大。

第三步：求交点坐标

联立 $L_1$ 与 $L_2$ 的方程：

$\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x+2y=3\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}$

记最优解点为 $C(1,1)$。

第四步：计算最大值

将 $C(1,1)$ 代入目标函数：

$z_{\text{max}}=1+4\times 1=5$

最终答案： $5$


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划的图解法。关键在于准确画出可行域和正确判断目标直线的移动方向。

2. 核心方法：“取点验证法”。如果不确定平移方向，可以将可行域的三个顶点全部求出，分别代入 $z$，最大的即为所求（适用于封闭区域）。

3. 避坑指南：注意不等号方向。例如 $x-y\ge 0$ 表示直线 $y=x$ 的右下方区域。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 基本不等式求最值、简单线性规划的最优整数解问题。

2. 结论推广: 若目标函数为 $z=ax+by$，当 $b>0$ 时，$z$ 随截距增大而增大；当 $b<0$ 时，$z$ 随截距增大而减小。

3. 方法推广: 涉及非线性目标函数（如 $x^2+y^2$ 或 $\frac{y}{x}$），则分别转化为距离或斜率的最值问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-11 单-线性规划
• 2015-福建卷文-10 单-线性规划
• 2015-湖南卷文-04 单-线性规划