2023-甲卷理-19 解-超几何分布缺分析

本题导读

本题考查超几何分布。核心在于分布列建模法、计数统计法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷理）一项试验旨在研究臭氧效应．实验方案如下：选 $40$ 只小白鼠，随机地将其中 $20$ 只分配到试验组，另外 $20$ 只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：$g$）．

（1）设$X$表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求 $X$ 的分布列和数学期望；

（2）试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：

$15.2,18.8,20.2,21.3,22.5,23.2,25.8,26.5,27.5,30.1$

$32.6,34.3,34.8,35.6,35.6,35.8,36.2,37.3,40.5,43.2$

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：

$7.8,9.2,11.4,12.4,13.2,15.5,16.5,18.0,18.8,19.2$

$19.8,20.2,21.6,22.8,23.6,23.9,25.1,28.2,32.3,36.5$

(i) 求 $40$ 只小鼠体重的增加量的中位数 $m$，再分别统计两样本中小于 $m$ 与不小于 $m$ 的数据的个数，完成如下列联表：

	<m	≥m	合计
对照组
试验组
合计

(ii) 根据 (i) 中的列联表，能否有 $95\%$ 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．

附：$K^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$P(K^2\ge k)$	0.100	0.050	0.010
$k$	2.706	3.841	6.635

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✅【答案】

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(1) $P(X=0)=\frac{19}{78}$，$P(X=1)=\frac{20}{39}$，$P(X=2)=\frac{19}{78}$

$E(X)=1$

(2) (i) 中位数 $m=23.4$，列联表见解析

(ii) 有 $95\%$ 的把握认为差异显著

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $X$ 的分布列和数学期望

1. 确定变量模型： 从全部 $40$ 只小白鼠中随机抽取 $2$ 只，已知对照组有 $20$ 只，实验组有 $20$ 只。 $X$ 为抽到的对照组鼠数，其可能取值为 $0,1,2$。 $X$ 服从超几何分布。

2. 计算各项概率：

   • $P(X=0)=\frac{{\text{C}}_{20}^0{\text{C}}_{20}^2}{{\text{C}}_{40}^2}=\frac{1\times \frac{20\times 19}{2\times 1}}{\frac{40\times 39}{2\times 1}}=\frac{190}{780}=\frac{19}{78}$；

   • $P(X=1)=\frac{{\text{C}}_{20}^1{\text{C}}_{20}^1}{{\text{C}}_{40}^2}=\frac{20\times 20}{780}=\frac{400}{780}=\frac{20}{39}$；

   • $P(X=2)=\frac{{\text{C}}_{20}^2{\text{C}}_{20}^0}{{\text{C}}_{40}^2}=\frac{190}{780}=\frac{19}{78}$．

3. 列出分布列：

X	0	1	2
$P$	$\frac{19}{78}$	$\frac{20}{39}$	$\frac{19}{78}$

4. 求期望：

   $E(X)=0\times \frac{19}{78}+1\times \frac{20}{39}+2\times \frac{19}{78}=\frac{20}{39}+\frac{38}{78}=\frac{20+19}{39}=1$

   ． (注：也可直接利用超几何分布期望公式 $E(X)=n\cdot \frac{M}{N}=2\cdot \frac{20}{40}=1$)

（2）中位数计算与独立性检验

1. 计算中位数： 将 $40$ 个数据从小到大合并排列，中位数 $m$ 为第 $20$ 位与第 $21$ 位数据的平均数。 观察两组数据，较小的数据分布如下： 实验组前 14 个数据均较小；对照组前 6 个数据（15.2, 18.8, 20.2, 21.3, 22.5, 23.2）也较小。 第 $20$ 个数为对照组中的 $23.2$，第 $21$ 个数为实验组中的 $23.6$。 故 $m=\frac{23.2+23.6}{2}=23.4$．

2. 完成列联表：

   • 对照组中小于 $23.4$ 的有 $6$ 个，不小于 $23.4$ 的有 $14$ 个；

   • 实验组中小于 $23.4$ 的有 $14$ 个，不小于 $23.4$ 的有 $6$ 个。

	<23.4	≥23.4	合计
对照组	6	14	20
实验组	14	6	20
合计	20	20	40

(ii) 独立性检验判定： 计算 $K^2$ 的观测值：

K^2 = \frac{40 \times (6 \times 6 - 14 \times 14)^2}{20 \times 20 \times 20 \times 20}$$$$K^2 = \frac{40 \times (36 - 196)^2}{160000} = \frac{40 \times (-160)^2}{160000} = \frac{40 \times 25600}{160000} = \frac{1024}{160} = 6.4

因为 $6.4>3.841$， 所以能有 $95\%$ 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：超几何分布分布列、合并数据的中位数判定、卡方观测值计算与比较。
2. 核心方法：公式解析法、交叉计数统计法。
3. 避坑指南：

• 中位数计数错位：无需写出完整的 40 项大排列，通过两组数据横向对比定位第 20 位和第 21 位，防止多算或漏算导致 $m$ 产生偏差。
• 临界值混淆：题目要求 “$95\%$ 的把握”，对应的显著性水平为 $P=1-95\%=0.05$。必须与临界值 $k=3.841$ 进行大小比对，切勿错用 $0.01$ 对应的 $6.635$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查数据分析的核心素养。将超几何分布与独立性检验交汇设计，考查对离散型随机变量模型及卡方检验流程的掌握情况。
2. 结论推广：当 $2\times 2$ 列联表具备对称性（即 $a=d$ 且 $b=c$，同时各边际合计均相等）时，卡方公式可简化为 $K^2=\frac{n(a-b{)}^2}{(a+b{)}^2}$。代入本题数据：$K^2=\frac{40\times (6-14{)}^2}{(6+14{)}^2}=\frac{40\times 64}{400}=6.4$，可大幅优化运算速度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 14.02 百分位数与四分位数

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2014-江西卷理-06 单-卡方统计量 chi^2
• 2004-全国卷II理-13 填-离散型随机变量的分布列