2023-甲卷理-20 解-抛物线综合

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与几何性质。核心在于联立方程法、韦达定理法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷理）已知直线 $x-2y+1=0$ 与抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 交于 $A,B$ 两点，且 $|AB|=4\sqrt{15}$．

（1）求 $p$；

（2）设 $F$ 为 $C$ 的焦点，$M,N$ 为 $C$ 上两点，$\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FN}=0$，求 $△MFN$ 面积的最小值．

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(1) $p=2$

(2) $△MFN$ 面积的最小值为 $12-8\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求参数 $p$ 的值

1. 联立方程并消元：

   由直线方程 $x-2y+1=0$ 得 $x=2y-1$．

   代入抛物线方程 $y^2=2px$ 得：

   $y^2=2p(2y-1)⟹y^2-4py+2p=0$

2. 利用韦达定理表示交点坐标关系：

   设 $A(x_A,y_A)$，$B(x_B,y_B)$．

   则 $y_A+y_B=4p$，$y_A{y}_B=2p$．

   且判定条件 $\Delta =(-4p{)}^2-4\times 1\times 2p=16p^2-8p>0$（由于 $p>0$，需满足 $p>\frac{1}{2}$）．

3. 计算弦长 $|AB|$：

   利用关于 $y$ 的弦长公式：$|AB|=\sqrt{1+{\left(\frac{\Delta x}{\Delta y}\right)}^2}|y_A-y_B|$．

   由 $x=2y-1$ 知 $\frac{\Delta x}{\Delta y}=2$．

   $|AB|=\sqrt{1+2^2}\sqrt{(y_A+y_B{)}^2-4y_A{y}_B}=\sqrt{5}\sqrt{(4p{)}^2-4(2p)}=\sqrt{5}\sqrt{16p^2-8p}$

4. 建立方程求解 $p$：

   已知 $|AB|=4\sqrt{15}$，两边平方得：

   $5(16p^2-8p)=(4\sqrt{15}{)}^2=16\times 15=240$

   除以 $40$ 得：$2p^2-p=6⟹2p^2-p-6=0$．

   因式分解得：$(2p+3)(p-2)=0$．

   由于 $p>0$，故解得 $p=2$．

（2）求 $△MFN$ 面积的最小值

1. 确定抛物线参数：

   由（1）知 $p=2$，抛物线方程为 $y^2=4x$，焦点 $F(1,0)$．

2. 设直线 $MN$ 方程并联立：

   由于 $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FN}=0$，直线 $MN$ 不可能斜率为 $0$．

   设直线 $MN$ 的方程为 $x=my+n$．

   代入 $y^2=4x$ 得：$y^2-4my-4n=0$．

   设 $M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，则 $y_1+y_2=4m$，$y_1{y}_2=-4n$．

3. 转化向量垂直条件：

   $\overrightarrow{FM}=(x_1-1,y_1)$，$\overrightarrow{FN}=(x_2-1,y_2)$．

   $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FN}=(x_1-1)(x_2-1)+y_1{y}_2=0$．

   将 $x=\frac{y^2}{4}$ 代入并利用韦达定理：

   (\frac{y_1^2}{4} - 1)(\frac{y_2^2}{4} - 1) + y_1 y_2 = 0$$$$\frac{(y_1 y_2)^2}{16} - \frac{y_1^2 + y_2^2}{4} + 1 + y_1 y_2 = 0

   代入 $y_1{y}_2=-4n$ 和 $y_1^2+y_2^2=(4m{)}^2+8n=16m^2+8n$：

   \frac{16n^2}{16} - \frac{16m^2 + 8n}{4} + 1 - 4n = 0$$$$n^2 - 4m^2 - 2n + 1 - 4n = 0 \implies 4m^2 = n^2 - 6n + 1

   因为 $4m^2⩾0$，所以 $n^2-6n+1⩾0$，解得 $n⩽3-2\sqrt{2}$ 或 $n⩾3+2\sqrt{2}$．

4. 计算 $△MFN$ 的面积 $S$：

   点 $F(1,0)$ 到直线 $x-my-n=0$ 的距离 $d=\frac{|1-n|}{\sqrt{1+m^2}}$．

   弦长 $|MN|=\sqrt{1+m^2}|y_1-y_2|=\sqrt{1+m^2}\sqrt{16m^2+16n}$．

   代入 $4m^2=n^2-6n+1$ 得：

   $|MN|=\sqrt{1+m^2}\sqrt{4(n^2-6n+1)+16n}=\sqrt{1+m^2}\sqrt{4n^2-8n+4}=2\sqrt{1+m^2}|n-1|$．

   则 $S=\frac{1}{2}|MN|\cdot d=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{1+m^2}|n-1|\cdot \frac{|n-1|}{\sqrt{1+m^2}}=(n-1{)}^2$．

5. 求面积最小值：

   设 $h(n)=(n-1{)}^2$．

   • 当 $n⩾3+2\sqrt{2}$ 时，$n-1⩾2+2\sqrt{2}$，$S⩾(2+2\sqrt{2}{)}^2=12+8\sqrt{2}$．

   • 当 $n⩽3-2\sqrt{2}$ 时，$n-1⩽2-2\sqrt{2}$．

     注意到在抛物线焦点三角形模型中，$n=\frac{-y_1{y}_2}{4}$，由于 $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FN}=0$，且 $F$ 在开口内，通常 $y_1,y_2$ 异号，故 $n>0$．

     当 $n=3-2\sqrt{2}$ 时，$S$ 取到最小值：

     $S_{\min }=(3-2\sqrt{2}-1{)}^2=(2-2\sqrt{2}{)}^2=12-8\sqrt{2}$

     ．

结论：

$△MFN$ 面积的最小值为 $12-8\sqrt{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的弦长代数式、向量垂直对应的数量积运算、含有因式约束的一元二次最值分析。
2. 核心方法：联立消元法、韦达定理法、目标函数建模法。
3. 避坑指南：

• 坐标统一转换：在第（2）问处理向量数量积时，应利用抛物线标准方程 $x=\frac{y^2}{4}$ 将所有横坐标统一转化为纵坐标 $y$，从而能够直接套用关于 $y$ 的韦达定理，切忌横纵坐标混用导致无法消元。
• 定义域漏判：求出 $S=(n-1{)}^2$ 后，不能盲目认为其在对称轴 $n=1$ 处取得最小值 0。必须通过实数 $m^2⩾0$ 的隐性条件锁定自变量 $n$ 的控制范围，在边界处求得真正的最值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题第（2）问属于经典的“阿基米德三角形”变体。其纯几何背景源于对抛物线焦点弦与直角张角关系的度量研究。当动弦 $MN$ 对焦点 $F$ 的张角为 $90^{\circ }$ 时，该三角形具有特定的射影几何特征。在高等数学中，此模型可映射为椭圆或抛物线坐标系下的二次型问题，通过正交变换消去交叉项，即可直接得到参数 $m$ 与 $n$ 的二次型约束方程 $n^2-4m^2-6n+1=0$。

2. 结论推广： 对于任意标准抛物线 $y^2=2px(p>0)$，若焦点为 $F$，动弦 $MN$ 满足 $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FN}=0$，设直线 $MN$ 的方程为 $x=my+n$，可得通用推广结论：

• 参数约束关系恒满足：$n^2-4m^2-3pn+\frac{p^2}{4}=0⟹m^2=\frac{4n^2-12pn+p^2}{16}$。
• $△MFN$ 的面积表达式恒为常数结构：$S=(n-\frac{p}{2}{)}^2$。
• 利用 $m^2⩾0$ 确定定义域边界，可推导出其面积的通用极小值公式为：$S_{\min }=p^2(3-2\sqrt{2})$。本题中代入 $p=2$，即得 $S_{\min }=4(3-2\sqrt{2})=12-8\sqrt{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义
• 2014-安徽卷理-10 单-坐标表示