2023-甲卷理-21 解-导数综合

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调性。核心在于换元法、端点效应法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷理） 已知函数 $f(x)=ax-\frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}$，$x\in (0,\frac{\pi }{2})$.

(1) 当 $a=8$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；

(2) 若 $f(x)<\sin 2x$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（单调性）： 先求导 $f^{\prime }(x)=a-\frac{\cos x\cdot {\cos }^{3}x-\sin x\cdot 3{\cos }^{2}x\cdot (-\sin x)}{{\cos }^{6}x}=a-\frac{{\cos }^{2}x+3{\sin }^{2}x}{{\cos }^{4}x}=a-\frac{1+2{\sin }^{2}x}{{\cos }^{4}x}$。 令 $g(x)=\frac{1+2{\sin }^{2}x}{{\cos }^{4}x}$，分析 $g(x)$ 在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 上的增减性。显然 $g(x)$ 是增函数。 比较 $f^{\prime }(x)$ 在区间端点的值，确定 $f^{\prime }(x)=0$ 的根的存在性，从而划分单调区间。
2. 第（2）问：

• 分析临界值（端点效应）：构建综合函数 $F(x)=f(x)-\sin 2x<0$。由 ${\lim }_{x\to 0^{+}}F(x)=0$，根据可导函数的保号性，恒成立的必要条件为 ${\lim }_{x\to 0^{+}}{F}^{\prime }(x)⩽0$。通过对导函数求 $x\to 0^{+}$ 的极限，初步锁定临界值 $a=3$。
• 当 $a⩽3$ 时（充分性证明）：只需证明 $a=3$ 时不等式成立。构造独立的三角放缩函数 $g(x)=3x-2\sin x-\tan x$，通过对其进行二次求导，锁定 $3x<2\sin x+\tan x$。代入原式进行因式分解与符号判定。
• 当 $a>3$ 时（排他性证明）：利用正弦有界性 $\sin x<x$，在原点右侧邻域内通过精细的割线放缩法，寻找一个特定点 $x_0$ 使得 $F(x_0)>0$ 成立，从而排除该范围。

✅【答案】

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(1) $f(x)$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{4}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$ 上单调递减

(2) $a$ 的取值范围为 $(-\infty ,3]$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $a=8$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性 $f^{\prime }(x)=8-\frac{{\cos }^{4}x+3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}{{\cos }^{6}x}=8-\frac{1+2{\sin }^{2}x}{{\cos }^{4}x}$。 令 $u={\cos }^{2}x\in (0,1)$，则 $f^{\prime }(x)=8-\frac{1+2(1-u)}{u^2}=8-\frac{3-2u}{u^2}=\frac{8u^2+2u-3}{u^2}$。 分子 $8u^2+2u-3=(2u-1)(4u+3)$。 令 $f^{\prime }(x)=0$，则 $u=\frac{1}{2}$（即 ${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}$），解得 $x=\frac{\pi }{4}$。

• 当 $x\in (0,\frac{\pi }{4})$ 时，${\cos }^{2}x>\frac{1}{2}$，则 $u>\frac{1}{2}$，此时 $f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$ 时，${\cos }^{2}x<\frac{1}{2}$，则 $u<\frac{1}{2}$，此时 $f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减。 故 $f(x)$ 的增区间为 $(0,\frac{\pi }{4})$，减区间为 $(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$。

(2) 若 $f(x)<\sin 2x$，求 $a$ 的取值范围

令 $g(x)=3x-2\sin x-\tan x,x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，则 $g^{\prime }(x)=\frac{3{\cos }^{2}x-2{\cos }^{3}x-1}{{\cos }^{2}x}.$

令 $h(x)=-2{\cos }^{3}x+3{\cos }^{2}x-1,0<x<\frac{\pi }{2}$，则 $h^{\prime }(x)=6\sin x\cos x(\cos x-1)<0.$ $h(x)$ 在区间 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 单调递减，所以 $h(x)<h(0)=0$。

从而 $g^{\prime }(x)<0$，$g(x)$ 在区间 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 单调递减，故 $g(x)<g(0)=0$。 所以当 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 时，$2\sin x+\tan x>3x$。

当 $a\le 3$ 时， \begin{align*} f(x)-\sin 2x &\le 3x-\frac{\sin x}{\cos^3x}-\sin 2x \\ &< 2\sin x+\tan x-\frac{\sin x}{\cos^3x}-2\sin x\cos x \\ &= \sin x(1-\cos x)\left(2-\frac{1}{\cos^2x}-\frac{1}{\cos^3x}\right) \\ &< 0. \end{align*}

当 $a>3$ 时，取 $x_0\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，满足 $\cos x_0>\frac{1}{\sqrt[3]{a-2}}$。 又因为当 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 时，$\sin x<x$，所以 \begin{align*} f(x_0)-\sin 2x_0 &= ax_0-\frac{\sin x_0}{\cos^3x_0}-2\sin x_0\cos x_0 \\ &\ge \sin x_0\left(a-\frac{1}{\cos^3x_0}-2\cos x_0\right) \\ &\ge \sin x_0\left(a-2-\frac{1}{\cos^3x_0}\right) \\ &> 0. \end{align*}

综上，$a$ 的取值范围是 $(-\infty ,3]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 构造函数法：处理超越函数不等式时，巧妙地拆分和组合项（如将 $3x$ 拆为 $2\sin x+\tan x$ 的下界）是解题关键。
2. 端点效应：压轴题求范围时，先看端点导数往往能直接锁定边界值，节省大量的盲目讨论时间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2006-全国卷II理-20 解-构造新函数法
• 2007-山东卷理-22 解-构造函数法证明不等式
• 2007-辽宁卷理-22 解-构造函数法