2007-辽宁卷理-22 解-构造函数法

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(理)） 已知函数 $f(x)={\text{e}}^{2x}-2t({\text{e}}^x+x)+x^2+2t^2+1$, $g(x)=\frac{1}{2}{f}^{\prime }(x)$.

(1) 证明：当 $t<2\sqrt{2}$ 时， $g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数；

(2) 对于给定的闭区间 $[a,b]$，试说明存在实数 $k$，当 $t>k$ 时， $g(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上是减函数；

(3) 证明： $f(x)\ge \frac{3}{2}$.

🔍【思路分析】

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1. 分解设问：本题分 6 问，逐问推进——先由题设条件求解基本量，再在所得结论基础上进一步计算或证明。
2. 方法选择：采用两次求导法（高阶导数分析），规范书写每一步的依据与结果。

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当 $t<2\sqrt{2}$ 时， 恒有 $g^{\prime }(x)>0$ 在 $\mathbf{R}$ 上成立

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 首先求函数 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime }(x)$： $f^{\prime }(x)=2{\text{e}}^{2x}-2t({\text{e}}^x+1)+2x=2{\text{e}}^{2x}-2t{\text{e}}^x-2t+2x$ 根据定义 $g(x)=\frac{1}{2}{f}^{\prime }(x)$， 得到 $g(x)$ 的显式解析式： $g(x)={\text{e}}^{2x}-t{\text{e}}^x+x-t$ 对 $g(x)$ 进行求导运算： $g^{\prime }(x)=2{\text{e}}^{2x}-t{\text{e}}^x+1$ 令 $u={\text{e}}^x(u>0)$， 则导函数化为关于 $u$ 的二次一元函数： $h(u)=2u^2-tu+1,u\in (0,+\infty )$ 要证明 $g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数， 只需证明 $g^{\prime }(x)\ge 0$ 在 $\mathbf{R}$ 上恒成立， 即 $h(u)\ge 0$ 在 $(0,+\infty )$ 上恒成立。 由于二次项系数 $2>0$， 二次函数图象开口向上， 只要其判别式 $\Delta \le 0$ 即可保证全域非负： $\Delta =(-t{)}^2-4\times 2\times 1=t^2-8\le 0⟹-2\sqrt{2}\le t\le 2\sqrt{2}$ 题目给定条件为 $t<2\sqrt{2}$：

• 当 $-2\sqrt{2}\le t<2\sqrt{2}$ 时， $\Delta \le 0⟹g^{\prime }(x)\ge 0$ 恒成立；

• 当 $t<-2\sqrt{2}$ 时， 对称轴 $-\frac{-t}{2\times 2}=\frac{t}{4}<0$， 此时当 $u>0$ 时， $h(u)>h(0)=1>0$ 必然恒成立。 综上所述， 当 $t<2\sqrt{2}$ 时， 恒有 $g^{\prime }(x)>0$ 在 $\mathbf{R}$ 上成立。 所以， $g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数。

(2) 解： 要使 $g(x)$ 在给定的闭区间 $[a,b]$ 上是减函数， 必须且只需满足 $g^{\prime }(x)\le 0$ 在 $x\in [a,b]$ 上恒成立。 由（1）可知 $g^{\prime }(x)=2{\text{e}}^{2x}-t{\text{e}}^x+1\le 0$。 由于 $x\in [a,b]⟹{\text{e}}^x>0$， 我们通过参数分离法将 $t$ 隔离出来： $t{\text{e}}^x\ge 2{\text{e}}^{2x}+1⟹t\ge 2{\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}$ 设 $\varphi (x)=2{\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}$。 要使 $t\ge \varphi (x)$ 在 $x\in [a,b]$ 上恒成立， 只需满足 $t$ 大于或等于该函数在闭区间 $[a,b]$ 上的最大值即可。 因为 $\varphi (x)=2{\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}$ 在闭区间 $[a,b]$ 上由指数函数的连续性可知， 必然存在最大值 $\varphi (x{)}_{\text{max}}$。 令 $k=\varphi (x{)}_{\text{max}}$。 由于闭区间 $[a,b]$ 固定， 则 $k$ 是一个确定的实数（具体为 $\max \{2{\text{e}}^a+{\text{e}}^{-a},2{\text{e}}^b+{\text{e}}^{-b}\}$）。 因此， 存在实数 $k$， 当 $t>k$ 时， 恒有 $g^{\prime }(x)\le 0$ 在 $[a,b]$ 上成立。 即 $g(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上是减函数。

(3) 证明： 将原函数 $f(x)$ 变形， 按照关于参数 $t$ 的一元二次多项式进行重新配方组装： $f(x)=2t^2-2({\text{e}}^x+x)t+({\text{e}}^{2x}+x^2+1)$ 提取系数 2 进行二次项配方： $f(x)=2\left[t^2-({\text{e}}^x+x)t+\frac{({\text{e}}^x+x{)}^2}{4}\right]-2\cdot \frac{({\text{e}}^x+x{)}^2}{4}+{\text{e}}^{2x}+x^2+1$ $f(x)=2{\left[t-\frac{{\text{e}}^x+x}{2}\right]}^2-\frac{{\text{e}}^{2x}+2x{\text{e}}^x+x^2}{2}+{\text{e}}^{2x}+x^2+1$ $f(x)=2{\left[t-\frac{{\text{e}}^x+x}{2}\right]}^2+\frac{{\text{e}}^{2x}-2x{\text{e}}^x+x^2}{2}+1$ 由于第一项平方项 $2{\left[t-\frac{{\text{e}}^x+x}{2}\right]}^2\ge 0$， 我们将其放缩丢弃： $f(x)\ge \frac{({\text{e}}^x-x{)}^2}{2}+1\text{(1)}$

下面求新构造函数 $\psi (x)={\text{e}}^x-x$ 的全域极小值： 对 $\psi (x)$ 求导： ${\psi }^{\prime }(x)={\text{e}}^x-1$。 令 ${\psi }^{\prime }(x)=0⟹{\text{e}}^x=1⟹x=0$。

• 当 $x<0$ 时， ${\psi }^{\prime }(x)<0$， $\psi (x)$ 单调递减；
• 当 $x>0$ 时， ${\psi }^{\prime }(x)>0$， $\psi (x)$ 单调递增。 故 $\psi (x)$ 在 $x=0$ 处取得全域绝对极小值， 亦即最小值： $\psi (x{)}_{\text{min}}=\psi (0)={\text{e}}^0-0=1$ 由此可知， 恒有 ${\text{e}}^x-x\ge 1$ 成立。

将 ${\text{e}}^x-x\ge 1$ 代回不等式 ① 中进行二次放缩： $f(x)\ge \frac{1^2}{2}+1=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$ 所以， $f(x)\ge \frac{3}{2}$ 成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：利用导数研究函数的单调性、导数在闭区间上的最值与不等式证明、构造函数法。
2. 核心方法：两次求导法（高阶导数分析）、参数分离与范围卡位法、配方法与不等式放缩。
3. 避坑指南：

• 注意关键条件（如定义域、符号、取值范围）的约束，避免漏解或增解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查利用导数研究函数的单调性、导数在闭区间上的最值与不等式证明，是辽宁卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（两次求导法（高阶导数分析）、参数分离与范围卡位法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：利用导数研究函数的单调性、导数在闭区间上的最值与不等式证明相互关联，解答中综合运用了两次求导法（高阶导数分析）、参数分离与范围卡位法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2012-辽宁卷理-21 解-导数
• 2014-江西卷文-18 解-导数最值
• 2016-全国卷II理-21 解-导数