本题导读
本题考查排列与组合的应用，以及数的奇偶性。
📌【题干】
Question
（2024年上海卷）设集合 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，则集合中元素个数的最大值为 ____.
🔍【思路分析】
破题导航
- 数论条件转化：设 。若 严格为偶数，根据整数乘法的奇偶性质， 和 中必须至少有一个是偶数。反过来说，如果集合 中存在两个或更多的奇数，那么将这两个奇数挑出来相乘，其积必然是奇数，这就破坏了题干条件。因此，集合 中至多只能允许存在 1 个奇数。
- 最大化策略确定：为了让集合 的元素个数达到最大化，我们的建组策略应该是：收录所有符合条件的无重复数字的三位偶数，再额外塞入 1 个符合条件的奇数。
- 分类计数三位偶数：在三位数计数中，数字 “0” 具有双重特殊性（既是偶数的末尾标志，又绝对不能放在百位担当最高位）。因此，必须对个位数是否为 0 展开分类讨论。
✅【答案】
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✍【详细解析】
Abstract
第一步：翻译数论性质，确立最大化 根据整数的乘法性质：
- 题目要求集合中“任意”两者之积皆为偶数，说明集合内绝不能出现两个及以上的奇数。 因此，集合中奇数的个数最大只能为 1。
第二步：分类讨论计数无重复数字的三位偶数 组成三位数的数码库为 ，共 10 个数字。 为了保证是偶数，个位数字必须在 中挑选。我们针对数字 “0” 进行分类：
情况 1：个位数字严格为 0
个位：只有 1 种选择（即固定为 0）。
百位：由于 0 已经被个位占用，百位从 中任选，共有 9 种选择（此时天然规避了最高位为 0 的风险）。
十位：不能与百位、个位重复，从剩余的 个数字中任选，有 8 种选择。
小计： 个。
情况 2：个位数字不为 0（即个位在 中）
个位：从 4 个非零偶数中任选，有 4 种选择。
百位：最高位不能为 0，且不能与个位数字重复，故从 10 个数字中刨除 0 和个位已用的数字，还剩 种选择。
十位：不能与百位、个位重复（但此时十位可以安全选 0 ），故从剩余的 个数字中任选，有 8 种选择。
小计： 个。
第三步：求和汇总 符合条件的所有无重复数字的三位偶数总数为： 将允许并入的 1 个奇数累加进来，可得集合 元素个数的最大值为：
【答案】：329
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：乘积奇偶性的临界判定、排列组合乘法原理与分类加法原理的综合、特殊位置（最高位）与特殊元素（零）的优先编排法。
- 核心方法：极端元素隔离分类讨论法。
- 避坑指南：
- 误解“任意两者之积为偶数”：高频错误是误以为集合里只能全部是偶数，漏掉了可以包含“独立唯一一个奇数”的边界，从而错填成 328。
- “0” 的控制链条断裂：在计算情况 2（个位不为 0）时，百位选择时常常忘记刨除数字 0。牢记口诀：“三位数计数，0 既防尾又防首”。每次个位一旦选定非 0 偶数，百位必须同时满足“非 0 且非个位”的双重过滤。
- 十位可选数算错：在定下个位和百位后，十位面临的选择数是整个数码 10 个中减去 2 个，仍然是 8，部分考生会惯性地写成 7，导致全盘皆输。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 本题源自教材选择性必修第三册第六章《计数原理》中排列与组合的经典数码排列应用题。属于上海卷拉开填空题中档分差的思维筛选题。
- 结论推广: 在组合计数问题中，“乘积为偶数（或特定倍数）”是一类非常标准的逻辑约束约束条件：
- 两数之积为偶数 奇数个数 ；
- 两数之积为奇数 内部必须全为奇数；
- 三数之积为偶数 奇数个数 。 通过这一互斥性逻辑，可以将大容量的复杂交织计数，成功简化隔离为纯正的、无干扰的分类独立计数系统。
🔗【关联脉络】
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