2024-上海卷-15 单-空间向量线性相关

本题导读

本题考查空间向量的线性相关性，以及空间直角坐标系。

📌【题干】

Question

（2024年上海卷）已知集合 $\Omega$ 是空间直角坐标系内的点集，$O$ 为坐标原点，任取 $P_1,P_2,P_3\in \Omega$，均存在不全为 0 的实数 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$，使得 ${\lambda }_1\overrightarrow{O{P}_1}+{\lambda }_2\overrightarrow{O{P}_2}+{\lambda }_3\overrightarrow{O{P}_3}=\vec{0}$.已知 $(1,0,0)\in \Omega$，则 $(0,0,1)\notin \Omega$ 的充分条件是（ ） A. $(0,0,0)\in \Omega$　　B. $(-1,0,0)\in \Omega$　　C. $(0,1,0)\in \Omega$　　D. $(0,0,-1)\in \Omega$

🔍【思路分析】

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1. 条件转化（线性相关）：题干指出任取 $P_1,P_2,P_3\in \Omega$，其对应的向量总存在不全为 0 的系数使得线性组合为零向量。这表明集合 $\Omega$ 中的任意三个向量都是线性相关的。
2. 几何直观化归（共面约束）：在三维空间中，三个向量线性相关在几何上意味着它们对应的点与原点 $O$ 必须全部共面（或共线、或为零向量）。即集合 $\Omega$ 内的所有点被限制在某一个通过原点 $O$ 的二维平面内。
3. 充分条件判定：已知 $(1,0,0)\in \Omega$。为了使 $(0,0,1)\notin \Omega$ 成立，需寻找一个选项，该选项与已知点结合后，能强制使得 $(0,0,1)$ 无法与它们处于同一个过原点的二维平面内，从而利用反证法得出结论。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确立集合 $\Omega$ 的几何形态特征 根据线性代数基础，三维空间中任意三个向量都线性相关，说明该向量集张成的空间维度满足： $\dim (\text{span}(\Omega ))⩽2$ 这说明集合 $\Omega$ 内所有点与原点连线构留在同一个过原点的平面内。

第二步：逐项比对分析各选项的充分性

• C 选项：若 $(0,1,0)\in \Omega$ 充分性论证（反证法）：假定此时结论不成立，即假定 $(0,0,1)\in \Omega$。 那么可以在集合 $\Omega$ 中同时取出以下三个点： $P_1(1,0,0)$， $P_2(0,1,0)$， $P_3(0,0,1)$。 考察其线性组合方程： ${\lambda }_1(1,0,0)+{\lambda }_2(0,1,0)+{\lambda }_3(0,0,1)=(0,0,0)⟹({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)=(0,0,0)$ 易知这三个向量作为直角坐标系的基底是线性无关的，只有当系数全为 0 时方程才成立。这与题干“存在不全为 0 的实数”的线性相关要求产生矛盾。 故假定不成立。当 $(1,0,0)$ 和 $(0,1,0)$ 同时在集合内时，它们与原点锁定了 $xy$ 平面。为满足题意， $z$ 轴上的点 $(0,0,1)$ 必须出局，即 $(0,0,1)\notin \Omega$ 必然成立。因此，C 是充分条件。

• A 选项：若 $(0,0,0)\in \Omega$ 若取 $P_2=(0,0,0)$ 为原点，则对于集合内的任意其他点 $P_1,P_3$，只需令 ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=1,{\lambda }_3=0$（不全为 0），其线性组合必然恒为 $\vec{0}$。零向量的加入不能对集合内其他点的平面空间分布产生约束。例如 $\Omega =\{(1,0,0),(0,0,0),(0,0,1)\}$ 完全符合题意，但此时 $(0,0,1)\in \Omega$。因此，A 不是充分条件。

• B 选项：若 $(-1,0,0)\in \Omega$ 向量 $(-1,0,0)$ 与已知向量 $(1,0,0)$ 属于共线向量，它们在空间中只占据 $x$ 轴一条直线。此时平面约束并未被锁定，集合 $\Omega$ 仍可容纳 $z$ 轴上的点 $(0,0,1)$（此时所有点共面于 $xz$ 平面，任意三点依然线性相关）。因此，B 不是充分条件。

• D 选项：若 $(0,0,-1)\in \Omega$ 向量 $(0,0,-1)$ 与目标向量 $(0,0,1)$ 属于共线向量，都在 $z$ 轴上。此时点 $(1,0,0)$ 与 $(0,0,-1)$ 确立了空间中的 $xz$ 平面。如果目标点 $(0,0,1)$ 也在集合 $\Omega$ 中，由于它们全部落在 $xz$ 平面内，它们的线性组合依然存在不全为 0 的解（共面即相关）。因此，D 选项无法排除 $(0,0,1)$，不是充分条件。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间向量线性相关性的几何特征（共面）、充分条件的逻辑逻辑判定。
2. 核心方法：反证推导法、向量空间维数分析法。
3. 避坑指南：

• 混淆充分条件方向：注意充分条件的逻辑是“由选项能够无条件推导出结论 $(0,0,1)\notin \Omega$”。
• 错选 D 选项（最具迷惑性）：部分考生认为要排除 $z$ 轴正方向的点 $(0,0,1)$，应当使用 $z$ 轴负方向的点 $(0,0,-1)$ 实施筛选。但 $(1,0,0)$ 和 $(0,0,-1)$ 确立的是 $xz$ 平面，而目标点 $(0,0,1)$ 恰好就在这个 $xz$ 平面内部，故 D 选项无法排除它。只有 C 选项引入全新的 $y$ 轴维度，与 $x$ 轴共同将空间限制在 $xy$ 平面内，方能强行将 $z$ 轴方向上的点排除在集合之外。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查空间向量线性相关性与空间基底的概念，属于高考选择题中的新定义创新题型，旨在测试考生的数形结合与抽象逻辑推理能力。
2. 结论推广：在 $N$ 维线性空间中，若一个子集满足“任意 $M$ 个向量都线性相关”，则该子集所能张成的最高空间维度被限制在 $M-1$ 维。在本题的三维空间（ $N=3$ ）中，任意 3 个向量（ $M=3$ ）都相关，迫使该集合只能限制在一个 2 维平面内。在处理此类维数限制的问题时，通过引入互相垂直的正交基去占满其最大允许维度，是逼迫其他维度外的点出局的常用手段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.01空间向量及其运算
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I文-18 解-四棱锥垂直二面角
• 2008-大纲卷II文-20 解-正四棱柱垂直二面角
• 2008-江苏卷-22 解-正方体向量夹角