2024-上海卷-19 解-样本估计与检验

本题导读

本题考查用样本平均数估计总体均值。核心在于样本估计总体法、组中值加权平均法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2024年上海卷）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区 29000 名学生中抽取 580 人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：

时间范围	$[0,0.5)$	$[0.5,1)$	$[1,1.5)$	$[1.5,2)$	$[2,2.5)$
学业成绩：优秀	5	44	42	3	1
学业成绩：不优秀	134	147	137	40	27

（1）该地区 29000 名学生中体育锻炼时长不少于 1 小时的人数约为多少？

（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到 0.1）.

（3）是否有 $95\%$ 的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于 1 小时且小于 2 小时有关？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（总体频数估算）：首先从频数表中累加出样本中锻炼时长在 $[1,1.5)$、 $[1.5,2)$、 $[2,2.5)$ 区间的“优秀”与“不优秀”总人数。求出样本比例后，直接等比例乘以总体数量 29000 即可。
2. 第二问（分组数据均值估计）：对于分段区间数据，计算平均数的核心是**“提取组中值”**。分别取各组区间的几何中点（即 0.25, 0.75, 1.25, 1.75, 2.25）作为各组的代表值，乘以各组的总频数（优秀 + 不优秀）进行加权平均计算。
3. 第三问（独立性检验）：

• 重组分类：根据题干要求，将自变量重组分类为“时长在 $[1,2)$ 内”（合并 $[1,1.5)$ 和 $[1.5,2)$ ）与“其他时长”两类；因变量分为“优秀”与“不优秀”。
• 构建列联表：严格核对各交叉项，填入标准 $2\times 2$ 列联表。
• 卡方计算与决策：提出零假设 $H_0$，套用卡方计算公式 ${\chi }^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ 计算观测值。将其与 $95\%$ 把握对应的临界值 3.841 进行强弱比对，输出统计学决策。

✅【答案】

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(1) $12500$

(2) $0.9$ 小时

(3) 有 $95\%$ 的把握认为有关

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：该地区 29000 名学生中体育锻炼时长不少于 1 小时的人数约为多少？

由统计频数表可知，在抽取的 580 人中，日均体育锻炼时长不少于 1 小时的样本人数（包含优秀与不优秀）为： $\text{样本中不少于 1 小时人数}=(42+3+1)+(137+40+27)=46+204=250\text{（人）}$ 由此可得该特征在样本中的占比频率为： $\text{P}=\frac{250}{580}=\frac{25}{58}$ 用样本频率估计总体概率，可得该地区 29000 名学生中体育锻炼时长不少于 1 小时的人数大约为： $\text{总体人数估计值}=29000\times \frac{25}{58}=500\times 25=12500\text{（人）}$ 答：该地区体育锻炼时长不少于 1 小时的人数约为 12500 人。

（2）解：估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长．

第一步：计算各时间组段的组中值与总频数 各连续分段区间的组中值（区间中点）分别为： $x_1=0.25,x_2=0.75,x_3=1.25,x_4=1.75,x_5=2.25$ 对应的各组总人数（优秀人数 + 不优秀人数）分别为：

• $[0,0.5)$ 组： $5+134=139$ 人；
• $[0.5,1)$ 组： $44+147=191$ 人；
• $[1,1.5)$ 组： $42+137=179$ 人；
• $[1.5,2)$ 组： $3+40=43$ 人；
• $[2,2.5)$ 组： $1+27=28$ 人。

第二步：利用加权平均数公式计算均值 $\bar{x}=\frac{0.25\times 139+0.75\times 191+1.25\times 179+1.75\times 43+2.25\times 28}{580}$ $\bar{x}=\frac{34.75+143.25+223.75+75.25+63}{580}$ $\bar{x}=\frac{540}{580}=\frac{27}{29}\approx 0.931\text{（小时）}$ 题目要求精确到 0.1，进行四舍五入保留一位小数，得： $\bar{x}\approx 0.9\text{（小时）}$ 答：估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长约为 0.9 小时。

（3）解：是否有 $95\%$ 的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于 1 小时且小于 2 小时有关？

第一步：重新归类数据，构建 $2\times 2$ 列联表 目标锻炼时长为 $[1,2)$ 小时（即合并 $[1,1.5)$ 和 $[1.5,2)$ 两个组别）：

• 该时长优秀的样本人数： $42+3=45$ 人；
• 该时长不优秀的样本人数： $137+40=177$ 人。

“其他时长”包含 $[0,0.5)$、 $[0.5,1)$ 以及 $[2,2.5)$ 三个组别：

• 其他时长优秀的样本人数： $5+44+1=50$ 人；
• 其他时长不优秀的样本人数： $134+147+27=308$ 人。

由此，我们规范构建 $2\times 2$ 列联表如下：

	时长在 $[1,2)$ 内	其他时长	总数
学业成绩：优秀	45 ($a$)	50 ($b$)	95 ($a+b$)
学业成绩：不优秀	177 ($c$)	308 ($d$)	485 ($c+d$)
总数	222 ($a+c$)	358 ($b+d$)	580 ($n$)

第二步：独立性检验标准推导

1. 提出零假设 $H_0$：学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于 1 小时且小于 2 小时之间是相互独立的（即两者无关）。
2. 设定显著性水平 $\alpha =0.05$。查卡方临界值表可知，在置信度为 $95\%$ （即 $\alpha =0.05$ ）的前提下，对应的拒绝域临界值为： $x_{0.05}=3.841$
3. 代入公式计算卡方观测值 ${\chi }^2$： ${\chi }^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ${\chi }^2=\frac{580\times (45\times 308-50\times 177{)}^2}{95\times 485\times 222\times 358}$ ${\chi }^2=\frac{580\times (13860-8850{)}^2}{95\times 485\times 222\times 358}=\frac{580\times 5010^2}{3659220180}=\frac{14558580000}{3659220180}\approx 3.978$

第三步：统计学决策陈述 因为算出的卡方观测值满足： ${\chi }^2\approx 3.978>3.841$ 因此，我们有充足的理由拒绝零假设 $H_0$，即认为零假设不成立。 也就是说，有 $95\%$ 的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于 1 小时且小于 2 小时之间具有相关关系。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分组数据的均值估算、 $2\times 2$ 列联表的分流合并重组、 ${\chi }^2$ 独立性检验的大容量代数精算与判定逻辑。
2. 核心方法：组中值法（第二问）、控制变量分类讨论法（第三问）。
3. 避坑指南：

• 均值组中值错用端点：计算第二问的平均数时，必须老老实实用区间中点 $0.25,0.75\dots$ 算权值。高频易错点是部分考生图省事直接用左端点（0, 0.5…）或右端点代入，会导致结果产生方向性系统偏差。
• 列联表分流分类混淆：第三问要求的自变量特征是“不少于 1 且小于 2”（即 $[1,2)$ ），其对立面“其他时长”必须把末尾的 $[2,2.5)$ 这一组也一同并入，部分粗心的考生极易想当然地认为“其他”就是前半段，把末尾的一组漏掉，导致列联表数据错位。
• 统计结论表述越界：在第三问得出 ${\chi }^2>3.841$ 后，结论必须规范表述为“有 $95\%$ 的把握认为有关”，绝对不能写成确定性的代数语言（如“完全有关”或“百分之百确定有关”），统计学描述必须保留显著性水平的边界余地。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自教材选择性必修第三册第八章《成对数据的统计分析》中列联表与独立性检验的综合解答习题。考查新课标中非常强调的“用局部样本的大数据去进行社会因果关系推断”的数学建模素养。
2. 结论推广: 卡方独立性检验（${\chi }^2$ Test）是现代医学临床试验（如：某种新药对某种疾病是否有显著疗效）、社会学调研中用于判定两个分类变量（Categorical Variables）之间是否存在非偶然性关联的基石武器。其核心机理是通过比对“实际观测频数”与“理论期望频数”之间的均方偏离度，来在概率层面上实现对因果关系的科学确证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 24.02 独立性检验与 2X2 列联表

类题演练 (Links)

• 2010-新课标卷文-19 解-独立性检验
• 2019-全国卷I文-17 解-样本估计总体
• 2008-湖南卷文-12 填-统计表总体估计