2024-天津卷-06 单-线面关系

本题导读

本题考查直线与平面平行的性质，以及直线与平面垂直的性质。

📌【题干】

Question

（2024年天津卷）若 $m$，$n$ 为两条不同直线，$\alpha$ 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若 $m\parallel \alpha$，$n\subset \alpha$，则 $m\parallel n$　　　　　　B. 若 $m\parallel \alpha$，$n\parallel \alpha$，则 $m\parallel n$

C. 若 $m\parallel \alpha$，$n\perp \alpha$，则 $m\perp n$　　　　　　D. 若 $m\parallel \alpha$，$n\perp \alpha$，则 $m$ 与 $n$ 相交

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间几何多维想象：空间中的线线、线面位置关系包含“异面”这一维度，不能直接套用平面几何结论。
2. 双轨破题策略：

• 定理推导法（正面论证）：借助线面平行性质定理、线面垂直定义进行几何逻辑证明，锁定正确项。
• 正方体模型法（反面排除）：通过建立一个标准的正方体模型，将题干中的线、面分别赋予正方体的棱和面，若能找出反例，则直接一票否决。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

建立标准正方体模型 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$（如下图所示），设平面 $\alpha$ 为正方体的下底面平面 $ABCD$。

• A 选项：错误。 题设条件：$m\parallel \alpha$，$n\subset \alpha$。 模型反例：令直线 $m$ 为上底面的棱 $A_1{B}_1$，显然 $A_1{B}_1\parallel \text{平面 }ABCD$；令直线 $n$ 为下底面的棱 $BC$，显然 $BC\subset \text{平面 }ABCD$．此时，这两条直线 $A_1{B}_1$ 与 $BC$ 既不相交也不平行，它们在空间中属于异面直线。

• B 选项：错误。 题设条件：$m\parallel \alpha$，$n\parallel \alpha$。 模型反例：令平面 $\alpha$ 为下底面 $ABCD$。令直线 $m$ 为 $A_1{B}_1$，直线 $n$ 为 $B_1{C}_1$。由于它们都躺在上底面内，显而易见它们都平行于下底面 $ABCD$。然而，直线 $A_1{B}_1$ 与 $B_1{C}_1$ 在顶点 $B_1$ 处是相交的。

• C 选项：正确。 严格定理证明： 因为 $m\parallel \alpha$，根据线面平行的性质，存在一个经过直线 $m$ 的平面 $\beta$ 与平面 $\alpha$ 相交于一条交线 $l$（即 $\beta \cap \alpha =l$ 且 $m\subset \beta$），由此可得： $m\parallel l$ 又因为已知条件指出 $n\perp \alpha$，而交线 $l$ 必然满足 $l\subset \alpha$，根据线面垂直的定义（直线垂直于平面，则垂直于平面内的任意一条直线），必然触发： $n\perp l$ 在空间中，当两条直线平行（ $m\parallel l$ ），第三条直线垂直于其中一条（ $n\perp l$ ），则它必然也垂直于另一条（ $n\perp m$ ）。因此，$m\perp n$ 恒成立。

• D 选项：错误。 由 C 选项的推导可知 $m\perp n$ 必然成立。但垂直分为“相交垂直”和“异面垂直”。 模型反例：令平面 $\alpha$ 为下底面 $ABCD$。令 $m$ 为棱 $A_1{B}_1$（满足 $m\parallel \alpha$），令 $n$ 为侧棱 $C{C}_1$（满足 $n\perp \alpha$）。直线 $A_1{B}_1$ 与 $C{C}_1$ 相互垂直，但它们在空间中没有公共点，属于异面垂直，并不相交。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行的性质定理、线面垂直的几何定义（线垂直于面 $⟹$ 线垂直于面内任意直线）、空间两直线位置关系的分类。
2. 核心方法：正方体全能反例模型法。
3. 避坑指南：

• 避免平面几何经验主义：在平面几何中，“平行于同一条直线的两条直线平行”成立，且“垂直于同一条直线的两条直线平行”也成立；但是在立体几何中，“平行于同一个平面的两条直线位置关系不确定（可能平行、相交或异面）”。空间中没有公共点的两条直线不仅可能是平行，还有可能是异面。
• 混淆垂直与相交：在平面几何中，垂直必然相交；而在立体几何中，垂直包含了“相交垂直”与“异面垂直”两种情况，两直线垂直不一定相交。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中关于空间点、线、面位置关系性质定理与判定定理的综合辨析，属于高考立体几何中考查空间想象力与严密逻辑推理的基础选择题。
2. 结论推广：在面对立体几何多面体、多平面交错的文字位置关系命题时，正方体是一个高效的“真假命题筛查器”。在考场上通过构建正方体模型，将选项中的线面关系转化为正方体的棱面关系进行验证，可以快速排除错误干扰项，提高解题速度与准确率。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷理-20 解-空间垂直判定
• 2014-湖南卷理-19 解-直线与平面垂直判定
• 2013-新课标II卷理-04 单-线面垂直的性质