2024-天津卷-10 填-复数运算

本题导读

本题考查复数的乘法运算。

📌【题干】

Question

（2024年天津卷）已知 $i$ 是虚数单位，复数 $(\sqrt{5}+i)\cdot (\sqrt{5}-2i)=$ ______.

🔍【思路分析】

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1. 识别运算类型：本题属于复数的乘法运算。
2. 制定求解策略：将复数相乘视作多项式相乘，严格按照乘法分配律展开。在后续的化简中，将所有出现的 $i^2$ 替换为 $-1$，最后将实部项与虚部项分别合并。

✅【答案】

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$7-\sqrt{5}\mathrm{i}$

✍【详细解析】

Abstract

根据复数的乘法分配律，对代数式进行展开： $(\sqrt{5}+i)\cdot (\sqrt{5}-2i)=\sqrt{5}\times \sqrt{5}+\sqrt{5}\times (-2i)+i\times \sqrt{5}+i\times (-2i)$

计算每一项的乘积： $=5-2\sqrt{5}i+\sqrt{5}i-2i^2$

合并中间包含 $i$ 的同类项（虚部）： $=5-\sqrt{5}i-2i^2$

由于 $i$ 是虚数单位，满足 $i^2=-1$。将 $i^2=-1$ 代入式中： $=5-\sqrt{5}i-2\times (-1)$ $=5-\sqrt{5}i+2$

将实部常数 $5$ 与 $2$ 进行加法求和： $=7-\sqrt{5}i$

【答案】：$7-\sqrt{5}i$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数代数乘法的分配律展开、虚数单位的性质 $i^2=-1$、复数代数形式的合并。
2. 核心方法：多项式展开法。
3. 避坑指南：

• 符号转换失误：本题的易错点在于最后一项 $i\times (-2i)$ 的符号处理。展开化简结果为 $-2i^2$，在将 $i^2$ 置换为 $-1$ 时，触发 $-2\times (-1)=+2$ 的符号翻转。部分考生容易在负号处理上产生疏漏，误算成 $-2$，导致最终实部计算错误。
• 结果书写规范：填空题输出的结果，必须化简为“实部 + 虚部”（即 $a+bi$）的标准代数形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中关于复数代数四则运算的基础练习题，考查最基本的复数乘法运算能力落实，属于高考填空题前端的基础得分题。
2. 结论推广：在高考复数的高频变式中，常将乘法与共轭复数（若 $z=a+bi$，则共轭复数 $\bar{z}=a-bi$）及复数的模长（$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$）相结合。熟记共轭复数相乘的平方和结论：$z\cdot \bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|z{|}^2$，在面对特定对称构型时可以大幅提高化简速度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-01 单-复数乘法
• 2014-大纲卷理-01 单-复数的除法运算
• 1989-全国卷理-07 单-复数与共轭的模