2024-天津卷-11 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项展开式的通项公式，以及指定项系数的求解。

📌【题干】

Question

（2024年天津卷）在 ${\left(\frac{3}{x^3}+\frac{x^3}{3}\right)}^6$ 的展开式中，常数项为 ______.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一：通项公式法（通性通法）： 写出二项式定理的通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。实施系数与变量分离，合并自变量 $x$ 的指数。由于求解目标为常数项（即 $x^0$ 项），令 $x$ 的指数等于 0，求出 $r$ 的值后代回计算系数。
2. 方法二：对称结构观察法（快速求解）： 观察括号内部，第一项 $\frac{3}{x^3}$ 与第二项 $\frac{x^3}{3}$ 的乘积为 1，互为倒数。若要使两项相乘时自变量 $x$ 的幂次完全抵消（即产生常数项），则两项被分配到的幂指数必须相等。总幂次为 6，因此两项各被分配 3 次，常数项即为组合数 ${\text{C}}_6^3$。

✅【答案】

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$20$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：通项公式法

第一步：写出二项展开式的通项公式 将原二项式表示为： ${\left(3x^{-3}+\frac{1}{3}{x}^3\right)}^6$。 根据二项式定理，其第 $r+1$ 项的通项公式为： $T_{r+1}={\text{C}}_6^r\cdot {\left(\frac{3}{x^3}\right)}^{6-r}\cdot {\left(\frac{x^3}{3}\right)}^r(0⩽r⩽6,r\in \mathbf{N})$

第二步：分离系数并合并变量 $x$ 的指数 运用幂的运算法则，将系数和自变量 $x$ 分离： $T_{r+1}={\text{C}}_6^r\cdot {\left(3\cdot x^{-3}\right)}^{6-r}\cdot {\left(\frac{1}{3}\cdot x^3\right)}^r$ $T_{r+1}={\text{C}}_6^r\cdot 3^{6-r}\cdot x^{-3(6-r)}\cdot 3^{-r}\cdot x^{3r}$ $T_{r+1}={\text{C}}_6^r\cdot 3^{6-2r}\cdot x^{6r-18}$

第三步：根据常数项定义求出 $r$ 常数项即自变量 $x$ 的特征指数为 0。令 $x$ 的指数归零，建立方程： $6r-18=0⟹6r=18⟹r=3$

第四步：代入数字计算最终结果 将 $r=3$ 代入通项公式的系数部分： $\text{常数项}={\text{C}}_6^3\cdot 3^{6-2\times 3}={\text{C}}_6^3\cdot 3^0={\text{C}}_6^3$ 展开组合数计算： ${\text{C}}_6^3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20$

方法二：对称结构观察法

审视二项式结构：项 $A=\frac{3}{x^3}$，项 $B=\frac{x^3}{3}$，因为 $A\cdot B=1$，即这两项互为倒数。 二项展开式的项由 $k$ 个 $A$ 与 $(6-k)$ 个 $B$ 相乘组成。 为了使项内不包含自变量 $x$，必须满足 $k=6-k⟹k=3$。 因此，两项各自被分配了 3 次方，它们的乘积恒等于 1。 常数项直接等于组合数： $\text{常数项}={\text{C}}_6^3\cdot (A{)}^3\cdot (B{)}^3={\text{C}}_6^3\cdot (A\cdot B{)}^3={\text{C}}_6^3\cdot 1^3={\text{C}}_6^3=20$

【答案】：20

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 的运用、常数项即 $x^0$ 项的代数含义、同底数幂的指数运算法则。
2. 核心方法：观察倒数均分法（方法二）、指数配平法（方法一）。
3. 避坑指南：

• 混淆项数与组合数下标：利用通项公式时，需注意求出的 $r=3$ 对应的是展开式中的第 $r+1$ 项（即第 4 项 $T_4$）。本题要求直接填写系数数值，无项数限制，但应注意区分其概念。
• 幂运算符号疏漏：在进行多项式指数分离时，负指数幂与分式系数的变换需谨慎（如容易遗漏 ${\left(\frac{1}{3}\right)}^r$ 中的指数 $r$ ），计算时应逐步推导。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查二项式定理求指定项系数的应用，属于计数原理板块的基础题型，侧重于考查通项公式的落实与基本运算能力。
2. 结论推广：此类“倒数对称结构”在二项式考查中具有普适性，如求解 ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^{2n}$ 的常数项。由于两项互为倒数，常数项可直接表示为 $(-1{)}^n{\text{C}}_{2n}^n$（符号取决于含负号项的幂次奇偶性）。利用指数的对称均分思想，可以将复杂的解析过程转化为简易的代数对应。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 1997-全国卷理-16 填-二项式展开式的系数
• 1998-全国卷理-17