2024-新高考I卷-01 单-集合

本题导读

本题考查集合的交集运算. 核心在于准确求解立方不等式以确定集合 $A$ 的数值范围，并根据交集定义筛选出集合 $B$ 中的公共元素 .

📌【题干】

Question

（2024年新高考I卷）已知集合 $A=\{x\mid -5<x^3<5\}$，$B=\{-3,-1,0,2,3\}$，则 $A\cap B=$()

A. $\{-1,0\}$　　　　B. $\{2,3\}$　　　　C. $\{-3,-1,0\}$　　　　D. $\{-1,0,2\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简集合 $A$：解立方不等式 $-5<x^3<5$。由于 $y=x^3$ 在 $\mathbb{R}$ 上是增函数，可直接开立方根.
2. 估算边界值：估算 $\sqrt[3]{5}$ 的大致范围，以便判断集合 $B$ 中的整数是否落在该区间内.
3. 执行交集运算：找出既属于集合 $A$ 又属于集合 $B$ 的元素.

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定集合 $A$ 的范围 由 $-5<x^3<5$，得： $-\sqrt[3]{5}<x<\sqrt[3]{5}$

第二步：估算 $\sqrt[3]{5}$ 的大小 因为 $1^3=1$，$2^3=8$， 所以 $1<\sqrt[3]{5}<2$. 由此可知，集合 $A$ 的范围约为 $(-1.71,1.71)$.

第三步：筛选交集元素 观察集合 $B=\{-3,-1,0,2,3\}$ 中的元素：

• $-3<-1.71$，故 $-3\notin A$；
• $-1.71<-1<1.71$，故 $-1\in A$；
• $-1.71<0<1.71$，故 $0\in A$；
• $2>1.71$，故 $2\notin A$；
• $3>1.71$，故 $3\notin A$. 所以 $A\cap B=\{-1,0\}$. 故选：A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合交集的基本运算、一元立方不等式的等价变形、利用临界整数对立方根进行夹逼放缩提示。
2. 核心方法：单调性开方与离散核对法。解决这类集合与不等式交错的问题，最稳妥的策略就是先借助初等函数的单调性（如本题的立方函数）将抽象的不等式集合化为具体边界，然后对离散目标集合进行逐个“逐一”一来，方向明确且不易漏项。
3. 避坑指南：

• 避坑指南1（误将立方根当成平方根导致符号丢失）：部分同学在处理$x^3>-5$当，思维联想到平方根的非负性时，误认为负数没有立方根符号会发生变异。或者必须明确奇次根式在全实数域内构造定义，负数的奇次根式依然是负数.
• 避坑指南 2（提示边界时间范围放得太宽）：一般候选人在提示中$\sqrt[3]{5}$当时，由于粗心将其与平方根（如$\sqrt{5}\approx 2.236$） 混乱，错误地判定$\sqrt[3]{5}>2$，从而把元素$2$强行算入集中交，错选成D。考场上遇到这种无理数边界，一定要通过写出其相邻的整数幂次（如$1^3=1,2^3=8$）进行支架刚性夹挤.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题祖人教A版必第一册第一章《集合与常用逻辑用语》以及第二章《一元二次函数、方程和不等式》中的课后基础练习题。高考全卷的开引入，命题组通过剪去繁琐的文字外壳，将高一最核心的交集算子与初等单调性的前置进行咬合，纯粹是修考考生的基本尖端功底.
2. 结论推广（离散集合与区间交集的“零点窗口控制网”）：可将此类“离散集合与单调根式区间求交集”的模型提炼为一个通用的二级积分网络：

• 设区间集合为$A=\{x\mid -K<x^m<K\}$，其中$m$为正奇数，且离散对比集合为整数集$B$. -显然，区间$A$的严格代数边界为$x\in (-\sqrt[m]{K},\sqrt[m]{K})$.
• 要确定哪些整数属于交集，只需寻找满足$n^m<K$的最大正整数$n_0$.
• 则交集中的整数元素的最大绝对值跨度被强行在$\le n_0$的整数范围内，即$A\cap B=\{x\in B\mid -n_0\le x\le n_0\}$.
• 本题中由于$K=5,m=3$，满足$n^3<5$的最大正整数显然为$n_0=1$利用该高阶推广网直接验证：交集元素绝对不能超过1，集合$B$中只有$-1$和$0$满足绝对值$\le 1$，肉眼瞬间答案锁定为$\{-1,0\}$.

3. 方法推广（从代数幂次到超越函数有界性的跨界迁移）：本题所练习的初等函数严格单调性解除自变量外壳、再通过离散式数字四夹套逼求最简区间的技术，是攻克高考侦查题前段基础题的保底基础。未来当题目中的立方不等高阶变量为离散必修第一册中的“含指对数超越式集合”（如$-1<\ln x<1$或者是$1<2^x<5$）”与离散序列求公共元时，其底层的解题逻辑—— “利用反函数或单调性平移解除物相外壳，通过提示法隔离离散整数点”，其技术本质与本题完全合流。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷理-01
• 2016-北京卷文-1
• 2019-全国卷III文-01 单-集合运算