2024-新高考I卷-11 多-新曲线的性质

本题导读

本题考查基于距离乘积定义的动点轨迹问题. 核心意图是要求学生利用“点过原点”这一特殊条件确定参数 $a$，建立曲线方程，并结合方程结构分析点的坐标范围、最值以及函数不等式关系.

📌【题干】

Question

（2024年新高考I卷）设计一条美丽的丝带，其造型可以看成曲线 $C$ 的一部分. 已知 $C$ 过坐标原点 $O$，且 $C$ 上的点满足：横坐标大于 $-2$；到点 $F(2,0)$ 的距离与到定直线 $l:x=a$ ($a<0$) 的距离之积为 $4$. 则下列结论正确的是()

A. $a=-2$

B. 点 $(2\sqrt{2},0)$ 在 $C$ 上

C. $C$ 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 $1$

D. 当点 $(x_0,y_0)$ 在 $C$ 上时，$y_0\le \frac{4}{x_0+2}$


🔍【思路分析】

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1. 确定参数 $a$：根据曲线过原点 $O(0,0)$，计算原点到 $F(2,0)$ 的距离以及到直线 $x=a$ 的距离，利用乘积为 $4$ 建立方程求 $a$.
2. 建立曲线方程：设动点 $M(x,y)$，根据距离定义列出方程：$\sqrt{(x-2{)}^2+y^2}\cdot |x-a|=4$.
3. 验证 B 选项：将点 $(2\sqrt{2},0)$ 代入曲线方程，看等式是否成立.
4. 最值讨论（C）：化简 $y^2=\frac{16}{(x+2{)}^2}-(x-2{)}^2$，对右侧函数求导，寻找 $y$ 在第一象限的最大值.
5. 分析 D 选项（不等式）：考察 $y_0$ 与 $x_0$ 的关系，利用方程变形及基本不等式进行缩放比较.

✅【答案】

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ABD

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求参数 $a$ 已知曲线 $C$ 过原点 $O(0,0)$. 原点到 $F(2,0)$ 的距离 $d_1=\sqrt{(0-2{)}^2+0^2}=2$. 原点到直线 $x=a$ ($a<0$) 的距离 $d_2=|0-a|=-a$. 由题意 $d_1\cdot d_2=4⟹2\cdot (-a)=4⟹a=-2$. 故 A 正确.

第二步：建立方程与验证 B 由于 $a=-2$，直线 $l:x=-2$。点 $M(x,y)$ 满足 $x>-2$，故距离为 $x+2$。 方程为：$\sqrt{(x-2{)}^2+y^2}\cdot (x+2)=4⟹((x-2{)}^2+y^2)(x+2{)}^2=16$。 代入点 $(2\sqrt{2},0)$： $x-2=2\sqrt{2}-2$，$x+2=2\sqrt{2}+2$，$y=0$。 左边 $=(2\sqrt{2}-2{)}^2(2\sqrt{2}+2{)}^2=[(2\sqrt{2}-2)(2\sqrt{2}+2){]}^2=[8-4{]}^2=4^2=16$。 左边 $=$ 右边，故 B 正确。

第三步：分析 C 选项 由方程得 $y^2=\frac{16}{(x+2{)}^2}-(x-2{)}^2$。 设 $g(x)=\frac{16}{(x+2{)}^2}-(x-2{)}^2$，求导得 $g^{\prime }(x)=\frac{-32}{(x+2{)}^3}-2(x-2)$。 令 $g^{\prime }(x)=0⟹(x-2)(x+2{)}^3=-16$。 经检验，此方程在 $x\in (-2,+\infty )$ 上的根并非使 $y=1$ 的 $x=2$（当 $x=2$ 时，$g^{\prime }(2)=-0.5\ne 0$）。 这意味着 $x=2$ 不是 $y$ 的最值点，最大值并不等于 $1$。故 C 错误。

第四步：判定 D 选项 由 $y^2=\frac{16-(x-2{)}^2(x+2{)}^2}{(x+2{)}^2}=\frac{16-(x^2-4{)}^2}{(x+2{)}^2}$。 因为 $(x^2-4{)}^2\ge 0$，所以 $y^2\le \frac{16}{(x+2{)}^2}$。 两边开平方得 $|y|\le \frac{4}{x+2}$。 所以 $y_0\le |y_0|\le \frac{4}{x_0+2}$ 恒成立。故 D 正确。

故选：ABD.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由特定距离乘积构建非典型圆锥曲线方程、无理根式的有理化化简变形、复杂分式导数的驻点存在性估计（介值定理）、代数不等式的单向舍项放缩法。
2. 核心方法：特征点占位代入法与代数丢项放缩法（客观压轴高妙技巧）。在核对 D 选项时，如果盲目把 $y_0=\pm \sqrt{\dots }$ 这一臃肿的根式直接去套入不等式作差，会引发灾难性的多项式高次展开。本题演示的**“代数舍项放缩法”** （抓住 $y_0^2+(x_0-2{)}^2=\text{常数分式}$ 这一结构，利用 $(x_0-2{)}^2\ge 0$ 果断丢掉它），可以直接将复杂的超越曲线约束瞬间简化转化为极简的单边界开方，思维极度清爽。而在 C 选项中，利用特殊点 $x=2$ 代入发现 $g(2)=1$，结合驻点排他性，直接完成对“最大值为1”的强力否定，无需精确求解无理根。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（C选肢中误把 $x=2$ 当成最值点）：很多同学在求导算到 $(x-2)(x+2{)}^3=-16$ 时，一眼看到 $x=2$ 时代入左边为 0，右边为 $-16$，误以为 $x=2$ 就是驻点，顺手算出了 $g(2)=1$ 从而错选了 C。务必明确： $0\ne -16$， $x=2$ 只是化简中一个极具迷惑性的特殊参考点，绝非导数零点！
• 避坑指南 2（D选肢开平方漏掉负数轨道）：在由 $y_0^2\le \frac{16}{(x_0+2{)}^2}$ 开方时，部分同学容易粗心丢掉绝对值符号，误写为 $y_0\le \frac{4}{x_0+2}$。虽然本题歪打正着依然满足小于等于号，但在更严密的多选题选肢中（例如若选项变为考察 $y_0\ge -\frac{4}{x_0+2}$），这层绝对值防御网的缺失会造成原则性的逻辑转化。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题底层源自高等几何与解析几何中经典的**“卡西尼卵形线变体（Cassini Oval）”。在高等数学中，卡西尼卵形线定义为到两个定点（焦点）的距离之积为常数的动点轨迹。新高考命题组去除了晦涩的双焦点定义，将其中的一个焦点平移泛化为定直线 $x=a$，组装成了一道考查学生“在复杂代数变形中保持清醒逻辑与边界放缩力”的客观压轴题。
2. 结论推广: 将此类“到定点与定直线距离积为定值”的模型提炼为一般模型：设已知动点 $M(x,y)$ 到 $F(c,0)$ 的距离与到 $x=-c$ 的距离之积为常数 $K$（且 $x>-c$）。经两端平方齐次化后，其轨迹方程恒呈现如下高度同构的代数构型：$(x-c{)}^2+y^2=\frac{K^2}{(x+c{)}^2}$由实数非负性引申出的“包络线单向边界定理”宣告：该曲线上任意一点的纵坐标与其横坐标之间，恒存在刚性的绝对值范围：$|y|\le \frac{K}{x+c}$本题中由于 $c=2,K=4$，代入本题数据验证： $|y_0|\le \frac{4}{x_0+2}⟹y_0\le \frac{4}{x_0+2}$。这与 D 选项完全一致！收录这一“距离积包络网络”，能让您在未来的模拟考中具备免笔快速得出类似性质的绝对实力。
3. 方法推广: 本题所展现的“利用代数式平方和特征、通过单向舍项丢弃未知元以实现核心变量范围判定”的思想，具有较强的跨章节迁移价值。不仅是高二解析几何客观压轴题的常用方法，未来在选择性必修第二册中的“结合导数工具研究超越方程的不等式全域放缩（如利用 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 进行三角项丢项放缩）”或者是最后一题新定义大题时，其运算本质相通．掌握这一方法，考场上遇到同类问题便能从容应对。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-14 填-基本不等式最值
• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式
• 2014-辽宁卷理-16 填-柯西不等式