2013-天津卷文-14 填-基本不等式最值

本题导读

本题考查基本不等式，以及函数的最值。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(文)） 设 $a+b=2$，$b>0$，则 $\frac{1}{2|a|}+\frac{|a|}{b}$ 的最小值为 　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a<0$：令 $t=-a>0$，$b=2+t$，式 $=\frac{1}{2t}+\frac{t}{2+t}$。
2. $g(t)$ 求导：$g\prime (t)=-\frac{1}{2t^2}+\frac{2}{(2+t{)}^2}=0$ → $t=2$ → $g(2)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$。
3. $a>0$：$f(a)=\frac{1}{2a}+\frac{a}{2-a}$，$f\prime =0$ → $a=\frac{2}{3}$ → $f=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}>\frac{3}{4}$。
4. 最小值 $\frac{3}{4}$（$a=-2$，$b=4$）。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

当 $a<0$ 时，$|a|=-a$。令 $t=-a>0$，则 $b=2-a=2+t$， $\frac{1}{2|a|}+\frac{|a|}{b}=\frac{1}{2t}+\frac{t}{2+t}(t>0).$ 记 $h(t)=\frac{1}{2t}+\frac{t}{2+t}$，则 $h\prime (t)=-\frac{1}{2t^2}+\frac{2}{(2+t{)}^2}.$ 令 $h\prime (t)=0$：$(2+t{)}^2=4t^2$，因 $t>0$ 得 $2+t=2t$，即 $t=2$。当 $0<t<2$ 时 $h\prime (t)<0$、当 $t>2$ 时 $h\prime (t)>0$，故 $h$ 在 $t=2$ 处取最小值 $h(2)=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=\frac{3}{4}.$ 此时 $a=-2$，$b=4$。 当 $a>0$ 时，$|a|=a$，$b=2-a>0$ 要求 $0<a<2$，式子的值为 $f(a)=\frac{1}{2a}+\frac{a}{2-a}.$ 由 $f\prime (a)=-\frac{1}{2a^2}+\frac{2}{(2-a{)}^2}=0$ 得 $2-a=2a$，即 $a=\frac{2}{3}$，此时 $f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}>\frac{3}{4}.$ 比较：$a<0$ 时可取到 $\frac{3}{4}$，$a>0$ 时最小为 $\frac{5}{4}$，故原式的最小值为 $\frac{3}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含绝对值的条件最值（基本不等式与函数最值）

核心方法：$a<0$ 时令 $t=-a>0$，$b=2+t$，$\frac{1}{2|a|}+\frac{|a|}{b}=\frac{1}{2t}+\frac{t}{2+t}⩾\frac{3}{4}$（$t=2$，即 $a=-2$、$b=4$ 时取等）；$a>0$ 时最小值为 $\frac{5}{4}$，故整体最小值为 $\frac{3}{4}$

避坑指南：必须对 $a$ 分类：$|a|$ 的符号决定分母结构，$a<0$ 时用 $t=-a$ 换元把式子变成熟悉的两项和；$a>0$ 时最小值 $\frac{5}{4}>\frac{3}{4}$，比较后取小者。求导或基本不等式都可，注意等号能否取到。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含绝对值的条件最值（换元 + 基本不等式 / 导数）。

结论推广：换元消去绝对值；基本不等式或求导定最值。

方法推广：按 $a$ 的符号分类 → 换元 $t=-a$ → 求两项和的最小值并验证等号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-12 单-基本不等式最值
• 2014-福建卷文-09 单-基本不等式
• 2013-安徽卷文-20 解-区间长度最值