2024-新高考I卷-12 填-双曲线离心率

本题导读

本题考查双曲线的定义及其几何性质. 核心突破口在于识别过焦点的垂线段即为“通径”的一半，利用直角三角形的勾股定理求出焦距，再结合双曲线的第一定义求出实轴长，最后计算离心率.

📌【题干】

Question

（2024年新高考I卷）设双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_2$ 作平行于 $y$ 轴的直线交 $C$ 于 $A,B$ 两点.若 $|F_{1}A|=13$，$|AB|=10$，则 $C$ 的离心率为 ______ .

🔍【思路分析】

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1. 明确几何位置：直线 $AB\parallel y$ 轴且过焦点 $F_2$，说明 $AB$ 垂直于 $x$ 轴。根据对称性，点 $A$ 的纵坐标绝对值为 $|AB|$ 的一半。
2. 构造直角三角形：在 $Rt△A{F}_1{F}_2$ 中，已知斜边 $|A{F}_1|$ 和直角边 $|A{F}_2|$，利用勾股定理求出另一条直角边 $|F_1{F}_2|$，从而确定半焦距 $c$。
3. 应用双曲线定义：利用 $|A{F}_1|-|A{F}_2|=2a$ 求出实轴长 $2a$。
4. 计算离心率：利用公式 $e=\frac{c}{a}$ 得出结果。

✅【答案】

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1.5

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定点 $A$ 到焦点的距离 $|A{F}_2|$ 因为直线 $AB$ 平行于 $y$ 轴且过 $F_2$，所以 $AB\perp F_1{F}_2$。 由对称性可知，$|A{F}_2|=|B{F}_2|=\frac{1}{2}|AB|=\frac{10}{2}=5$。

第二步：求焦距 $2c$ 在 $Rt△A{F}_1{F}_2$ 中，$\angle A{F}_2{F}_1=90^{\circ }$。 根据勾股定理： $|F_1{F}_2{|}^2=|A{F}_1{|}^2-|A{F}_2{|}^2=13^2-5^2=169-25=144$。 所以 $|F_1{F}_2|=12$，即 $2c=12⟹c=6$。

第三步：求实轴长 $2a$ 根据双曲线的第一定义，动点到两焦点距离之差的绝对值等于 $2a$。 对于点 $A$，有： $2a=|A{F}_1|-|A{F}_2|=13-5=8⟹a=4$。

第四步：计算离心率 $e$ $e=\frac{c}{a}=\frac{6}{4}=1.5$

故填：1.5（或 $\frac{3}{2}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线通径的对称中点性质、直角三角形经典勾股数（5, 12, 13）的应用、双曲线第一定义的距离等价变换、离心率公式 $e=\frac{c}{a}$ 求解。
2. 核心方法：定义流与经典直角三角形几何同构。在解决圆锥曲线涉及焦点垂直弦（通径）的问题时，切忌盲目把点 $A(c,y_A)$ 或者是通径公式 $\frac{2b^2}{a}=10$ 强行去联立复杂的代数方程组。本题演示的**“纯定义几何流”**，直接将焦点三角形 $△A{F}_1{F}_2$ 转化为一个静态、完美的直角三角形，通过定义分离无理项，思维和计算负载极低，属于高妙的“以形驭数”特技。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（双曲线定义加减号错位）：部分考生在处理第一定义时，思维惯性套用了椭圆的距离和定义，错记为 $|A{F}_1|+|A{F}_2|=2a⟹13+5=2a⟹a=9$，导致分母变形错误。务必牢记：双曲线是距离之“差”，椭圆是距离之“和”。
• 避坑指南 2（焦距与半焦距混淆）：在通过勾股定理算出直角边 $|F_1{F}_2|=12$ 后，部分粗心的同学顺手把 12 当成了半焦距 $c$，导致算出的离心率扩大了 2倍。考场上落笔时必须在草稿纸上明确标注 $2c=12⟹c=6$ 的防御线。。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自人教A版选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》中“双曲线的几何性质”章节后的经典基础练习题。新高考命题组去除了以往模拟卷中“双斜率交错、动态轨迹包络面”等晦涩的二阶包装，通过回归到最古老的阿波罗尼斯焦点三角形，纯粹考查考生对平面几何不变量与圆锥曲线第一定义咬合的核心基本功，极具选拔的纯粹性。
2. 结论推广: （基于焦点垂直弦的“双曲线离心率通用特征网”）：可将此类“过焦点的垂直弦与焦半径构成的几何关系”提炼为一般模型：

• 设双曲线的右焦点垂直弦长为 $|AB|=2d$（即通径的一半为 $d$），动点 $A$ 到左焦点的距离为 $L$。
• 显然，在直角三角形 $△A{F}_1{F}_2$ 中，焦距恒满足： $2c=\sqrt{L^2-d^2}$。
• 依据双曲线第一定义，实轴长恒满足： $2a=L-d$。
• 两式作商，该构型下的离心率 $e$ 恒存在如下高度同构的代数化简不变量公式： $e=\frac{2c}{2a}=\frac{\sqrt{L^2-d^2}}{L-d}=\sqrt{\frac{(L-d)(L+d)}{(L-d{)}^2}}=\sqrt{\frac{L+d}{L-d}}$
• 本题中由于给出 $L=13,d=5$，代入本题数据验证： $e=\sqrt{\frac{13+5}{13-5}}=\sqrt{\frac{18}{8}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}=1.5$。这一公式化的结论能帮助在面对同类数据变化时快速得出答案。

3. 方法推广: 本题所展现的利用几何图形对称性定位关键直角边、通过第一定义分离外壳将多元齐次化转化的思想，不仅是高二圆锥曲线客观题的基础题型，未来在解答题中轴线上的“解析几何大题最后一问，探究动弦对焦点张角的正切值最值”、或者是利用“焦半径公式 $r=a\pm e{x}_0$ 实施不等式全域放缩”时，其核心思路——“将抽象曲线特征体现为离散的几何直角三角形，通过因式完全平方化或勾股关系消去干扰元”，其运算本质完全合流。的最扎实核心方法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2021-天津卷-18 解-椭圆综合