2024-新高考II卷-11 多-三次函数

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，以及三次函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（2024年新高考II卷）设函数 $f(x)=2x^3-3a{x}^2+1$，则（ ）

A. 当 $a>1$ 时，$f(x)$ 有三个零点

B. 当 $a<0$ 时，$x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点

C. 存在 $a,b$，使得 $x=b$ 为曲线 $y=f(x)$ 的对称轴

D. 存在 $a$，使得点 $(1,f(1))$ 为曲线 $y=f(x)$ 的对称中心

🔍【思路分析】

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1. 导数基础：求出 $f^{\prime }(x)$，确定极值点候选值 $0$ 和 $a$。
2. 零点判定（A）：在 $a>1$ 的前提下，计算极大值 $f(0)$ 和极小值 $f(a)$。若极大值与极小值异号，结合三次函数无穷远端的趋势，判定零点个数。
3. 极值性质（B）：根据 $a<0$ 讨论导函数的符号变化规律，判定 $x=0$ 两侧的增减性。
4. 对称性分析（C, D）：

• 三次函数图像不具备轴对称性（只有中心对称性）。
• 三次函数的对称中心横坐标由 $f^{\prime \prime }(x)=0$ 确定。验证是否存在 $a$ 使得该点横坐标为 $1$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

第一步：求导并分析极值点 $f^{\prime }(x)=6x^2-6ax=6x(x-a)$ 令 $f^{\prime }(x)=0$，得 $x_1=0,x_2=a$

第二步：判定选项 A（零点个数） 当 $a>1$ 时，$a>0$。由导函数开口向上，可知：

• 函数在 $(-\infty ,0)$ 上单调递增，在 $(0,a)$ 上单调递减，在 $(a,+\infty )$ 上单调递增

• 极大值为 $f(0)=1>0$

• 极小值为 $f(a)=2a^3-3a^3+1=1-a^3$ 因为 $a>1$，所以 $a^3>1$，则 $f(a)<0$ 由于极大值 $>0$ 且极小值 $<0$，由连续函数介值定理及三次函数图像特征可知，$f(x)$ 必有三个零点 故 A 选项正确

第三步：判定选项 B（极值点类型） 当 $a<0$ 时，导函数 $f^{\prime }(x)=6x(x-a)$ 的零点为 $a<0$

• 当 $x\in (a,0)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，函数单调递减
• 当 $x\in (0,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增 因此 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点而非极大值点 故 B 选项错误

第四步：判定选项 C（对称轴） 三次函数 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ ($a\ne 0$) 的图像是中心对称图形，但绝对不是轴对称图形 故 C 选项错误

第五步：判定选项 D（对称中心） 三次函数的对称中心为其二阶导数为 $0$ 的点 $f^{\prime \prime }(x)=12x-6a$ 令 $f^{\prime \prime }(x)=0$，解得 $x=\frac{a}{2}$ 题目要求点 $(1,f(1))$ 为对称中心，则： $\frac{a}{2}=1⟹a=2$ 当 $a=2$ 时，$f(x)=2x^3-6x^2+1$，对称中心为 $(1,-3)$ 验证 $f(1)=2(1{)}^3-6(1{)}^2+1=-3$，坐标吻合 故 D 选项正确

故选：AD

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：一阶导数符号决定全域单调区间、极值（极大/极小值）与零点存在性定理的复合嵌套、三次函数“拐点即是对称中心”的高阶拓扑几何性质。
2. 核心方法：二阶导数拐点流（快速求解三次函数对称性的终极Armor）。在处理三次函数的对称中心问题时，最忌讳的是盲目去套用高一传统的中心对称代数定义式 $f(x_0+x)+f(x_0-x)=2y_0$ 进行繁琐的多项式展开。最清爽的长期有效技术是直接启动二阶导数 $f^{\prime \prime }(x)=0$。因为三次曲线的几何变号率（凹凸性分界线）在全域有且仅有一个归零驻点，这个点在高等数学中被称为拐点。抓住“ $x_0=-\frac{B}{3A}$ 或 $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ ”这一铁律，可以将复杂的超越对称论证瞬间转化为一元一次方程的特值求解，实现思维的绝对清爽。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（B选肢中因思维惯性导致极值类型看反）：部分同学在做 B 选项时，由于习惯了平时模拟卷中 $a>0$ 的默认设定，主观认定 $x=0$ 作为左侧第一个驻点必定是极大值点。考场上务必警惕**“负数参数引起的驻点位置大漂移”**。当 $a<0$ 时， $a$ 跑到了 0 的左边，单调增减发生了镜面翻转， 0 处的波形已经由山峰退化为了山谷。
• 避坑指南 2（D选肢中误以为要额外证明纵坐标满足对称）：个别考生在算到 $a=2$ 后，看到选项里写的是 $(1,f(1))$，心里犯嘀咕，试图去大面积验算 $f(1+x)+f(1-x)$。务必明确：三次函数关于拐点天然对称，只要横坐标对齐了拐点，纵坐标 $f(1)$ 自动获得对称中心的至高神盛隶属权，无需进行任何二次无谓的化简计算负担。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题底层源自高等数学中《微积分》章节关于**“曲线的凹凸性与拐点判定定理（Inflection Point Theorem）”**的经典应用。新高考命题组极具匠心地抹去了大学数学中晦涩的凸集与高阶导数矩阵术语，转而将其无缝包裹在高中的三次多项式和一阶导数单调性外壳下。题目剔除了所有拼凑数据的枯燥计算，纯粹考查考生对高维代数构型几何不变量的洞察力。
2. 结论推广（三次函数全域特征的“拐点同构模型”）： 为了丰富您的文献库知识体系，我们将三次多项式函数最核心、最高频的性质提炼为一个标准的**“不变量模型”**。设通用三次函数为 $F(x)=A{x}^3+B{x}^2+Cx+D(A\ne 0)$：

• 唯一对称中心定理：其对称中心（拐点）的横坐标恒满足： $x_0=-\frac{B}{3A}$。
• 极值对称分布律：若该函数存在两个极值点 $x_1,x_2$，则对称中心必定是这两个极值点的几何中点，即恒有： $x_1+x_2=2x_0=-\frac{2B}{3A}$。
• 零点单调判定链：当函数存在极值时，其拥有 3 个不同零点的充要条件为极大值与极小值乘积严格正定非负，即： $F(x_1)\cdot F(x_2)<0$。 掌握了这一套网络，未来在任何模拟考上只要看到三次函数的多选题，直接调取该不变量网络验证参数，即可在 5 秒内肉眼快速求解全部选肢。

3. 方法推广（从低阶符号截断向全域高阶导数消元的运算能力泛化）： 本题所展现的“利用二阶导数零点直接锁定图形局域凹凸分界线、通过一阶导数因式分解判定极值类型”的思想，是攻克整张卷后段 17 分终极导数压轴大题最坚固的。未来当这一考点推广到新高考卷第 18 题或 19 题中的“结合超越指数因式（如 ${\text{e}}^x$ ）探究多驻点交错状态下的零点分布个数范围”、或者是利用“切线放缩法进行全域不等式夹逼控制”时，其核心思路——“通过引入高阶导数算子消去最高阶非线性干扰元，实现复杂超越空间向静态一元代数方程的化归”。掌握这一方法，能为您在导数板块提供最高维度的解题视野。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-08 单-函数零点比较
• 2013-新课标I卷理-16 填-函数对称性
• 2013-新课标I卷理-21 解-曲线上某点切线方程