2014-浙江卷理-06 单-三次函数的解析式

本题导读

本题考查三次函数解析式的确定及其参数范围的推导。通过已知三个特定点的函数值相等，建立关于系数 $a,b$ 的方程组，确定函数部分解析式后，利用给定的函数值范围求出常数项 $c$ 的取值范围。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(理)） 已知函数 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$，且 $0<f(-1)=f(-2)=f(-3)\le 3$，则()

A. $c\le 3$　　　　B. $3<c\le 6$　　　　C. $6<c\le 9$　　　　D. $c>9$

🔍【思路分析】

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1. 建立方程组：利用 $f(-1)=f(-2)$ 和 $f(-1)=f(-3)$ 建立关于 $a$ 和 $b$ 的二元一次方程组（常数项 $c$ 会在相减时抵消）。

2. 求解系数：解方程组得出 $a$ 和 $b$ 的具体数值。

3. 利用范围求解 $c$：将 $a,b$ 代回 $f(-1)$ 的表达式，利用已知的不等式 $0<f(-1)\le 3$ 解出 $c$ 的范围。

4. 备选方法（更简便）：利用因式定理，令 $f(x)-k=(x+1)(x+2)(x+3)$，其中 $k=f(-1)$，展开即得 $a,b,c$ 与 $k$ 的关系。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

方法一：方程组法（如解析图所示）

由 $f(-1)=f(-2)=f(-3)$ 得：

$\{\begin{array}{l}-1+a-b+c=-8+4a-2b+c\\ -1+a-b+c=-27+9a-3b+c\end{array}$

化简得：

$\{\begin{array}{l}3a-b=7\\ 8a-2b=26\end{array}⟹\{\begin{array}{l}3a-b=7\\ 4a-b=13\end{array}$

两式相减得 $a=6$，代入得 $b=11$。

所以 $f(x)=x^3+6x^2+11x+c$。

由条件 $0<f(-1)\le 3$ 得：

$0<(-1{)}^3+6(-1{)}^2+11(-1)+c\le 3$

$0<-1+6-11+c\le 3$

$0<-6+c\le 3$

解得 $6<c\le 9$。

方法二：构造函数法（推荐）

设 $f(-1)=f(-2)=f(-3)=k$，则 $x=-1,-2,-3$ 是方程 $f(x)-k=0$ 的三个根。

因为 $f(x)$ 的最高次项系数为 $1$，所以：

$f(x)-k=(x+1)(x+2)(x+3)$

$f(x)=(x^3+6x^2+11x+6)+k$

对比原式 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ 可知：

$c=6+k$

又因为 $0<k\le 3$，所以：

$6+0<6+k\le 6+3⟹6<c\le 9$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多项式函数与根的关系（因式定理）。

2. 核心方法：构造法在处理“多点等值”问题时效率极高，可以避开复杂的方程组计算。

3. 避坑指南：在解不等式时，注意常数项的正负号变换，确保移项后的区间方向正确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三次函数的对称中心、函数的单调性。

2. 结论推广: 对于 $n$ 次多项式，若已知 $n$ 个相等的值，均可使用 $f(x)-k=a(x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_n)$ 进行构造。

3. 方法推广: 待定系数法是通法，但在选择题中优先考虑构造法或特殊值法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷文-13 填-函数解析式
• 2024-新高考II卷-11 多-三次函数
• 2014-福建卷文-18 解-三角函数