2024-新高考II卷-12 填-等差数列求和

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及等差数列的前 n 项和公式。

📌【题干】

Question

（2024年新高考II卷）记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.若 $a_{3} + a_{4} = 7$ ， $3 a_{2} + a_{5} = 5$ ，则 $S_{10} =$ $.$

🔍【思路分析】

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常规方案（基本量法）：设等差数列的首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ 。利用通项公式 $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ 将已知两个等式转化为关于 $a_{1}$ 和 $d$ 的二元一次方程组，解出基本量后代入 $S_{10}$ 公式。

进阶方案（性质法）：观察下标特征。利用等差数列性质 $a_{n} + a_{m} = a_{p} + a_{q}$ （当 $n + m = p + q$ 时）。例如 $a_{3} + a_{4} = a_{2} + a_{5} = 7$ ，这样可以直接与第二个条件 $3 a_{2} + a_{5} = 5$ 联立，极大简化运算量。

求和技巧：计算 $S_{10}$ 时，除了使用 $10 a_{1} + 45 d$ ，也可以利用 $S_{10} = 5 (a_{1} + a_{10}) = 5 (a_{5} + a_{6})$ 等对称形式。

✅【答案】

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：95

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用等差数列性质转化条件在等差数列中，因为 $3 + 4 = 2 + 5 = 7$ ，所以 $a_{3} + a_{4} = a_{2} + a_{5} = 7$ 已知： ${a_{2} + a_{5} = 7 — (1) 3 a_{2} + a_{5} = 5 — (2)$

第二步：解方程组求项值与公差用 ② - ① 得： $2 a_{2} = - 2 ⟹ a_{2} = - 1$ 将 $a_{2} = - 1$ 代入 ① 得： $- 1 + a_{5} = 7 ⟹ a_{5} = 8$ 公差 $d = \frac{a _{5} - a _{2}}{5 - 2} = \frac{8 - ( - 1 )}{3} = 3$

第三步：计算 $S_{10}$ 的所需项求出 $a_{1}$ ： $a_{1} = a_{2} - d = - 1 - 3 = - 4$ 求出 $a_{10}$ ： $a_{10} = a_{5} + 5 d = 8 + 5 \times 3 = 23$ （或者利用对称性： $S_{10} = 5 (a_{5} + a_{6})$ 。已知 $a_{5} = 8$ ，则 $a_{6} = a_{5} + d = 8 + 3 = 11$ 。）

第四步：代入求和公式使用公式 $S_{10} = \frac{10 ( a _{1} + a _{10} )}{2}$ ： $S_{10} = 5 \times (- 4 + 23) = 5 \times 19 = 95$ （或使用性质法： $S_{10} = 5 (a_{5} + a_{6}) = 5 (8 + 11) = 95$ 。）

故答案为：95

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列通项的一阶线性结构、下标和等值代换定理（ $m + n = p + q ⟹ a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$ ）、前 $n$ 项和公式的对称特征。

核心方法：基本量联立法与性质平移流。对于新高考前段的数列填空题，基本量法（解关于 $a_{1}, d$ 的二元一次方程组）是绝对的基础题型，运算能力稳健的同学一般 45 秒内即可无痛通关。而【解法一】演示的**“性质对流平移法”**，则是提速降耗的绝技，通过发现 $3 + 4 = 2 + 5$ 的数理巧合，直接将高次耗能的代数化简转化为口算级别的算术减法，最大化维持了考场思维的清爽度。

避坑指南：

避坑指南 1（求和公式中系数项漏算或记错）：部分同学在套用求和公式 $S_{n} = n a_{1} + \frac{n ( n - 1 )}{2} d$ 时，容易把后半部分的组合数系数错记为 $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ ，导致在计算 $S_{10}$ 时把 45d 算成了 55d（错套了等比或其它求和模型），功亏一篑。

避坑指南 2（性质平移时下标发生错位）：个别考生在使用性质法时，粗心大意将 $3 a_{2} + a_{5} = 5$ 误记为 $a_{2} + a_{5} = 5$ 进行运算。切记：只有在系数完全相同（通常为 1）的前提下，下标和定理才能顺利启动防御和转换。带有加权系数的项必须严格拉出来单独求导分离。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源自人教A版选择性必修第二册第四章《数列》中“等差数列的前 $n$ 项和”章节后的标准A组基础通关练习题。新高考命题组在填空题第一题设卡，分离了所有复杂的“动态取整、超越函数嵌套、奇偶分项求和”等晦涩的外壳，纯粹回归到最古老的“等差数列代数结构不变量”的考查，是一道指标极佳、旨在考查学生基本运算规范的常规基础题。

结论推广: 将此类“已知两组等差下标和相等条件，求偶数项前 $n$ 项和”的模型提炼为一般模型：

设等差数列 ${a_{n}}$ 满足不变量方程 $a_{m} + a_{n} = A$ （且满足 $m + n = 2 k + 1$ ）。

同时给定加权约束方程 $λ a_{m - 1} + a_{n + 1} = B$ （其中 $λ$ 为已知常数）。

经性质抵消消元后，该系统前 $2 m + 2 n - 2$ 项和（即对称正中心求和）满足如下规整的同构代数公式： $S_{2 k + 1} = \frac{2 k + 1}{2} \cdot A$

特别地，对于本题这种直接给出对称两项和的极简构型，其前 $2 n$ 项和恒刚性锁定满足： $S_{2 n} = n (a_{n} + a_{n + 1})$ 。本题中 $S_{10} = 5 (a_{5} + a_{6}) = 5 (a_{2} + a_{9}) = 5 (a_{3} + a_{4}) = 5 \times 19 = 95$ 。记住这一“对称中心网络”，未来在任何模拟考的客观题中看到同类构型，甚至不需要算出公差 $d$ ，直接用 5 乘以 19 即可实现 2 秒肉眼盲判快速求解。

方法推广: 本题所展现的“通过观察下标代数特征进行整体代换、利用不变量方程消去冗余元”的思想，具有较强的跨章节迁移价值。不仅是高二数列客观题的常用方法，未来在新高考第 17 题的“解析几何大题第一问，利用斜率式中的点纵坐标差整体置换动弦中点轨迹方程”、或者是新定义大题中的“离散点集的同余分类计数”时，其核心思路——“抓住系统的轴对称不变量，通过引入整体替身（如用 $a_{5} + a_{6}$ 代换 $a_{1} + a_{10}$ ）消除干扰变元，实现多维代数空间向一元核心整式的化归”，其数形转换的代数本质相通。掌握这一方法，能为您在考场上面对任何复合线性方程组时，都提供居高临下的较强的解题大局观。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项

2013-广东卷理-12 填-等差数列性质

2013-新课标I卷理-07 单-等差数列通项

∑ ( Math )

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2024-新高考II卷-12 填-等差数列求和

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