2024-甲卷文-03 单-向量的坐标运算

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算，以及平面向量共线的坐标表示。

📌【题干】

Question

（2024年甲卷文）设向量 $\vec{a}=(x+1,x)$，$\vec{b}=(x,2)$，$\vec{c}=(1,1)$，若 $\vec{a}-2\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线，则 $x=$（ ）

A. $\frac{5}{2}$　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　C. $-\frac{1}{2}$　　　　　　D. $-\frac{5}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求解复合向量坐标：

• 根据平面向量的数乘与减法运算规则，分别对各分量进行计算，求出复合向量 $\vec{a}-2\vec{b}$ 的坐标。

2. 利用共线条件列方程：

• 若向量 $\vec{m}=(x_1,y_1)$ 与 $\vec{n}=(x_2,y_2)$ 共线，满足充要条件 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$（或两向量对应分量成比例）。
• 将复合向量与向量 $\vec{c}=(1,1)$ 的坐标代入共线充要条件，建立关于 $x$ 的一元一次方程。

3. 解方程锁定答案。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

🛠 第一步：计算复合向量 $\vec{a}-2\vec{b}$ 的坐标

已知向量 $\vec{a}=(x+1,x)$， $\vec{b}=(x,2)$。 首先计算数乘向量 $2\vec{b}$： $2\vec{b}=2\times (x,2)=(2x,4)$

接着计算向量的坐标减法，对应分量分别相减： $\vec{a}-2\vec{b}=(x+1-2x,x-4)$ $\vec{a}-2\vec{b}=(1-x,x-4)\dots \dots \text{(1)}$

🛠 第二步：利用共线充要条件建立方程求解

已知向量 $\vec{c}=(1,1)$，且复合向量 $\vec{a}-2\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 严格共线。

📌 解法一：交叉相乘法（通用判定） 根据平面向量共线的坐标表示公理，若两向量共线，则它们的横纵坐标“外项积等于内项积”： $(1-x)\times 1-(x-4)\times 1=0$ $1-x-x+4=0$ $-2x+5=0⟹2x=5$ $x=\frac{5}{2}$

📌 解法二：分量成比例法 由于向量 $\vec{c}=(1,1)$ 的各个分量均非零，两向量共线意味着它们的对应分量严格成比例： $\frac{1-x}{1}=\frac{x-4}{1}$ $1-x=x-4$ $1+4=x+x⟹2x=5$ $x=\frac{5}{2}$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的线性分量运算；共线向量的代数判定条件。
2. 核心 method：坐标比例映射法。
3. 避坑指南：

• 在第一步进行坐标减法时，注意系数 2 要同时乘到横纵坐标上，特别是纵坐标减法不要漏减，算成 $x-2$。
• 移项合并同类项时注意正负号的对调，避免因心算粗心错选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题为2024年高考文科数学（全国甲卷）第3题。向量是连结代数与几何的重要桥梁之一。本题通过最基础的坐标运算，将抽象的向量“共线（平行）”几何关系刚性转化为一元一次代数方程，旨在考查全体考生的基本运算功底。
2. 结论推广： 若两平面向量 $\vec{m},\vec{n}$ 共线，且其中一个向量为对角等分向量 $\vec{c}=(k,k)(k\ne 0)$。 通过分量比例化简可知，任何与其共线的向量 $\vec{m}=(X,Y)$，其横纵坐标必严格相等： $X=Y$ 利用此不变量规律，本题在求得 $\vec{a}-2\vec{b}=(1-x,x-4)$ 后，由于其与 $(1,1)$ 共线，可直接一眼锁定 $1-x=x-4$，免去公式展开步骤，实现瞬间心算复核。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2013-湖北卷理-06 单-向量坐标