2024-甲卷文-18 解-独立性检验

本题导读

本题考查列联表与独立性检验。核心在于列联表分析法、公式代入法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2024年甲卷文）某工厂进行生产线智能化升级改造. 升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 $150$ 件进行检验，数据如下：

标签	优级品	合格品	不合格品	总计
甲车间	$26$	$24$	$0$	$50$
乙车间	$70$	$28$	$2$	$100$
总计	$96$	$52$	$2$	$150$

（1）填写如下列联表：

标签	优级品	非优级品
甲车间
乙车间

能否有 $95\%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 $99\%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？

（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率 $p=0.5$ . 设 $\bar{p}$ 为升级改造后抽取的 $n$ 件产品的优级品率，如果 $\bar{p}>p+1.65\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ ，则认为该工厂产品的优级品率提高了. 根据抽取的 $150$ 件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？($\sqrt{150}\approx 12.247$)

附： $K^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ .

$P(K^2⩾k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$k$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

🔍【思路分析】

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1. 第一问（独立性检验）：将原表格中的“合格品”与“不合格品”两列数据相加，合并为“非优级品”，完成 $2\times 2$ 列联表的简化。代入 $K^2$ 经验公式计算观测值，并将其与附表中的临界值 3.841 和 6.635 分别进行比对，得出结论。
2. 第二问（统计推断应用）：首先计算出样本中优级品率的具体数值 $\bar{p}=\frac{96}{150}$。然后将 $p=0.5$ 与 $n=150$ 代入给定的判断阈值公式右侧，利用近似值测算出比较基准。最后比对两者大小，做出判断。

✅【答案】

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(1) 有 $95\%$ 的把握认为存在差异，没有 $99\%$ 的把握认为存在差异

(2) 能认为优级品率提高了

✍【详细解析】

Abstract

（1）列联表填写与独立性检验

1. 完成 $2\times 2$ 列联表：

   甲车间非优级品：$24+0=24$；乙车间非优级品：$28+2=30$．

	优级品	非优级品	总计
甲车间	$26$	$24$	$50$
乙车间	$70$	$30$	$100$
总计	$96$	$54$	$150$

2. 计算 $K^2$ 的观测值：

   K^2 = \frac{150 \times (26 \times 30 - 70 \times 24)^2}{50 \times 100 \times 96 \times 54}$$$$K^2 = \frac{150 \times (780 - 1680)^2}{5000 \times 5184} = \frac{150 \times (-900)^2}{5000 \times 5184} = \frac{150 \times 810000}{25920000}$$$$K^2 = \frac{121500000}{25920000} = \frac{12150}{2592} \approx 4.6875

3. 判定结论：

   • 因为 $4.6875>3.841$，所以有 $95\%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；

   • 因为 $4.6875<6.635$，所以没有 $99\%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异．

（2）判断优级品率是否提高

4. 计算样本优级品率 $\bar{p}$：

   全部产品 $150$ 件，优级品共 $96$ 件．

   $\bar{p}=\frac{96}{150}=0.64$

5. 计算判定标准值：

   已知 $p=0.5,n=150$，代入公式右侧：

   $p+1.65\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}=0.5+1.65\sqrt{\frac{0.5\times 0.5}{150}}=0.5+1.65\times \frac{0.5}{\sqrt{150}}$

   代入 $\sqrt{150}\approx 12.247$：

   $\approx 0.5+\frac{0.825}{12.247}\approx 0.5+0.0673=0.5673$

6. 进行比较：

   因为 $0.64>0.5673$，即 $\bar{p}>p+1.65\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ 成立．

7. 结论：

   可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分类变量独立性检验中 $K^2$ 观测值的计算及临界值对比、样本分布特征的统计判定规则应用。
2. 核心方法：列联表合并简化法、代数估算法。
3. 避坑指南：

• 答题规范性遗漏：第一问包含两个问号（95%和99%），必须分条明确回答“有”和“没有”，切忌含糊其辞只答一句话。
• 算术失真：在计算 $K^2$ 时，先在分子中提取公因式或交叉约分（如先消去大数末尾的0），切忌直接盲目进行大数相乘，极易引发计算崩溃。第二问保留小数估算时，注意除法 $\frac{0.825}{12.247}$ 应至少保留 3-4 位有效小数防止判定边界翻转。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自人教A版选择性必修第三册《统计》中独立性检验章节的应用母题。其高等数学背景为大样本下的中心极限定理与单侧假设检验。题干第二问所给出的不等式 $p+1.65\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$，本质上是二项分布利用正态近似（ $\mathcal{N}(p,\frac{p(1-p)}{n})$ ）在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下的单侧置信上限（其中 $1.65$ 对应正态分布的 $Z_{0.95}$ 分位数）。
2. 结论推广: 对于工业抽检、新药有效性测试等任意二项分布场景，只要样本量 $n$ 足够大，其样本频率的波动便受到该正态边界刚性控制。此命题形式弱化了对繁琐理论的死记硬背，将其抽象为了一个“代入即用”的代数评估模型，体现了考查“数学建模与数据分析核心素养”的高考命题新趋势。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 24.02 独立性检验与 2X2 列联表

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷理-06 单-卡方统计量 chi^2
• 2009-辽宁卷文-20 解-独立性检验优质品率
• 2010-新课标卷文-19 解-独立性检验