2024-甲卷理-03 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划中最优解的求解，以及可行域的画法。

📌【题干】

Question

（2024年甲卷理）若实数 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}4x-3y-3⩾0\\ x-2y-2⩽0\\ 2x+6y-9⩽0\end{array}$，则 $z=x-5y$ 的最小值为

（ ）

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　B. 0　　　　　　C. $-\frac{5}{2}$　　　　　　D. $-\frac{7}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步（求顶点坐标）：两两联立不等式组对应的三条边界直线方程，求解出可行域封闭多边形的所有顶点坐标。
2. 第二步（顶点代入最值定理）：由于可行域是由三条直线围成的封闭三角形区域，线性目标函数 $z=Ax+By$ 的最值必然在区域的顶点（边界交点）处取得。直接将各顶点坐标代入目标函数中计算对应 $z$ 值。
3. 第三步（数形结合复核）：将目标函数变形为斜截式 $y=\frac{1}{5}x-\frac{z}{5}$。分析 $y$ 轴截距 $-\frac{z}{5}$ 与 $z$ 的反向变号关系，通过比对各顶点的代入结果锁定绝对最小值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

这里是详细的推导步骤：

第一步：两两联立直线方程，求出可行域的三个顶点坐标

• 联立解顶点 $C$： $\{\begin{array}{l}4x-3y-3=0\\ x-2y-2=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}4(2y+2)-3y-3=0\\ x=2y+2\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-1\end{array}⟹C(0,-1)$
• 联立解顶点 $B$： $\{\begin{array}{l}x-2y-2=0\\ 2x+6y-9=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=2y+2\\ 2(2y+2)+6y-9=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=3\\ y=\frac{1}{2}\end{array}⟹B\left(3,\frac{1}{2}\right)$
• 联立解顶点 $A$： $\{\begin{array}{l}4x-3y-3=0\\ 2x+6y-9=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}4x-3y-3=0\\ 4x+12y-18=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\\ y=1\end{array}⟹A\left(\frac{3}{2},1\right)$

由此可知，约束条件所锁定的可行域是以 $A,B,C$ 为顶点的封闭三角形区域及其内部。

第二步：将各顶点坐标依次代入目标函数 $z=x-5y$ 中进行计算

• 将点 $C(0,-1)$ 代入得： $z_C=0-5\times (-1)=5$
• 将点 $B\left(3,\frac{1}{2}\right)$ 代入得： $z_B=3-5\times \frac{1}{2}=3-\frac{5}{2}=\frac{1}{2}$
• 将点 $A\left(\frac{3}{2},1\right)$ 代入得： $z_A=\frac{3}{2}-5\times 1=\frac{3}{2}-5=-\frac{7}{2}$

第三步：几何截面保号性分析与结论锁定 目标函数变形为关于 $y$ 的斜截式方程： $y=\frac{1}{5}x-\frac{z}{5}$ 因为 $y$ 项系数 $-5<0$，目标函数 $z$ 与直线的 $y$ 轴截距 $-\frac{z}{5}$ 呈严格反向对流关系（即 $z$ 越小，截距 $-\frac{z}{5}$ 越高）。 当含有未知高度的基准滑线经过可行域最高突起顶点 $A\left(\frac{3}{2},1\right)$ 时，直线的截距达到最大，对应的目标函数 $z$ 取得全盘刚性极小值（最小值）。 $(z{)}_{\min }=z_A=-\frac{7}{2}$

故选：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次线性方程组的代数消元求解、封闭多边形区域的最值顶点定理、线性目标函数几何截距的方向保号性控制。
2. 核心方法：多边形边界交点代入判别法。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（多维消元计算手误）：本题的最核心路障落在三个交点坐标的精准分离上。计算 $A$ 或 $B$ 点时，若因粗心将分式符号算错，会导致反代后错选 A 或 C。考场上对联立出来的两组解务必放回第三条未参与联立的直线方程中实施快速代数检验。

• 避坑指南 2（平移滑线时方向看反）：个别同学在利用数形结合时，误以为 $z$ 的最小值必然对应图象最下方的顶点 $C$。牢记：当 $y$ 前面加权系数为负数时，空间位置越靠上的点，代入算出的 $z$ 值反而越小。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-14 填-线性规划
• 2008-大纲卷II理-05
• 2008-广东卷文-12 填-线性规划最大值