本题导读
本题考查双曲线的几何性质，以及双曲线的定义。
📌【题干】
Question
（2024年甲卷理）已知双曲线的两个焦点分别为 ， ，点 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
- 方法一（定义法）：由焦点坐标可知双曲线焦点在 轴上，半焦距 。设上、下焦点分别为 ，计算已知点 到两焦点的距离 与 。根据双曲线的定义， ，从而求出 ，最后利用 求解。
- 方法二（几何不变量法）：注意到点 的纵坐标与上焦点 相同，说明线段 垂直于 轴。依据双曲线的几何性质， 的长即为双曲线的半通径长 。通过建立关于 的方程并结合 可快速求出 。
✅【答案】
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C
✍【详细解析】
Abstract
方法一：基于双曲线第一定义的通法
第一步：确定半焦距 设双曲线的上、下焦点分别为 。 由已知焦点坐标为 ， 。 由于焦点的横坐标均为 ，确定双曲线的焦点在 轴上，且半焦距：
第二步：计算已知点到两焦点的距离 设动点坐标为 。 观察到点 与焦点 的纵坐标相同，线段 为水平线段，其长度为两点横坐标之差的绝对值：
将点 与下焦点 代入平面两点间距离公式：
第三步：利用双曲线定义求解 根据双曲线定义，平面内到两定点距离之差的绝对值等于定长 ：
第四步：求离心率 将基本量代入离心率公式：
方法二：利用半通径性质
由于焦点在 轴上，且 ，则关系式满足 。 因为动点 与上焦点 纵坐标相同，线段 轴（即垂直于焦点轴）。 由双曲线几何性质可知，过焦点且垂直于焦点轴的弦为通径，其半长（焦点到曲线的垂直距离）为 ：
将 代入上式： 因式分解得： 因为双曲线的实半轴长必须满足 ，舍去负根，得：
从而求得离心率：
故选：C。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：双曲线的第一定义、平面两点间距离公式、双曲线半通径长公式 、离心率公式。
- 核心方法：定义法（方法一）适合通用推导；几何不变量法（方法二）利用了特殊位置特征，简化了距离公式的计算。
- 避坑指南：
- 概念混淆：切勿将双曲线的第一定义（差的绝对值）误用为椭圆的第一定义（和），导致算出 的错误结论。
- 方程轴向：虽然计算离心率 仅需要算出 与 的比例，但根据焦点坐标 必须准确判定该双曲线的焦点在 轴上。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题考查双曲线基本定义与性质的应用，源自教材中关于圆锥曲线标准方程与几何性质的基础练习题。
- 结论推广：在双曲线模型中，若焦点在 轴上，半焦距为 ，当存在动点 的纵坐标与某一焦点相同时（即线段垂直于焦点轴），该点到焦点的距离恒等于半通径长 。结合 ，可直接构造一元二次方程 。本题中 ，方程直接化为 ，可口算解得 。
🔗【关联脉络】
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