2024-甲卷理-12 单-直线与圆相交弦长

本题导读

本题考查等差数列的定义与性质，以及直线过定点问题。

📌【题干】

Question

（2024年甲卷理）已知$b$是$a,c$的等差中项，直线$ax+by+c=0$与圆$C:x^2+y^2+4y-1=0$交于$A,B$两点，则$|AB|$的最小值为（ ）

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $2\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

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1. 第一步（代数变换求定点）：根据$b$是$a,c$的等差中项，得到等差中项关系式$a+c=2b⟹a-2b+c=0$。 对比直线方程$ax+by+c=0$，通过对应系数得到直线系恒过的定点$P$。

2. 第二步（圆的配方与位置判定）：将圆的求解配方为标准形式，求出圆心$C$与半径$R$。计算定点$P$与圆心$C$的距离，确定点$P$在圆内部。

3. 第三步（几何不指标求最短弦）：根据垂径定理，弦长公式为$|AB|=2\sqrt{R^2-d^2}$（$d$为圆心到直线的距离）。要使$|AB|$最小，需使弦心距$d$最大。当直线与连线$CP$垂直时，弦心距$d$达到顶峰$d_{\max }=|CP|$，此时对应的弦长最短。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：隔离变量，起始直线所过的设定点$P$

因为$b$是$a,c$的等差中项，由等差中项的性质可获得：

$a+c=2b⟹a-2b+c=0\dots \dots \text{(1)}$

已知的动直线方程为：

$ax+by+c=0\dots \dots \text{(2)}$

对比等式①与方程②的系数结构：

$\{\begin{array}{l}a\cdot (1)+b\cdot (-2)+c=0\\ a\cdot (x)+b\cdot (y)+c=0\end{array}$

由此可知，当$x=1,y=-2$时，无论$a,b,c$取何值，方程②恒成立。这说明该动直线系恒过一个平面定点：

$P(1,-2)$

第二步：配方圆的求解，判定点$P$的位置

已知圆的方程为$x^2+y^2+4y-1=0$，由此进行配方变形：

$x^2+(y^2+4y+4)-1-4=0⟹x^2+(y+2{)}^2=5$

由此可知：

• 圆心坐标为$C(0,-2)$；

• 半径的平方为$R^2=5$。

计算定点$P(1,-2)$到圆心$C(0,-2)$的距离$|CP|$：

$|CP|=\sqrt{(1-0{)}^2+[-2-(-2){]}^2}=\sqrt{1^2+0^2}=1$

因为$|CP|=1<\sqrt{5}$，即点$P$到圆心的距离小于圆的半径，所以定点$P$严格在圆$C$的内部。

第三步：结合垂径定理，思维最短弦长

设圆心$C$到运动直线的距离（弦心距）为$d$。由垂径定理及勾股定理可得弦长公式：

$|AB|=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{5-d^2}$

要使弦长$|AB|$轻松获得弦心距$d$根据平面几何性质，过圆内定点$P$的所有直线中，当且仅当直线与连线$CP$垂直时，圆心到直线的距离最大，此时最大距离即为线段$CP$的长度：

$d_{\max }=|CP|=1$

将$d_{\max }=1$代入弦长公式中，求得$|AB|$的简单：

$|AB{|}_{\min }=2\sqrt{5-1^2}=2\sqrt{4}=4$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差中项性质的应用、直线过定点判定、圆的标准方程、垂径定理与弦长最大值模型。

2. 核心方法：参数比对求定点、几何最值分析法（最短弦模型）。

3. 避坑指南：

   • 盲目代数化简：部分考生在求出定点后，仍尝试利用代数方法将直线伺服中的参数消除（如代数化）$c=2b-a$），并使用点到直线公式求最值。由于涉及多个高次指标，容易导致严重的繁琐。牢记圆的弦长最值优先使用垂径定理进行几何分析，避免盲目联立。

   • 不一致半径与半径平方：在配方中得到$x^2+(y+2{)}^2=5$时，注意$5$为$R^2$，代入公式计算时将其当成$R$而错算为$\sqrt{5^2-1}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题将解析几何中经典的“直线过圆内定点求最短弦长”模型与“等差中项”这一线性的系数约束相结合，本身教材中关于直线与圆的位置关系的基础延伸应用。

2. 结论推广（圆内定点的弦长控制模型）：设已知圆的标准方程为$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$，动直线由于内部代数约束恒过圆内一个定点$P(x_1,y_1)$。

   • 终止弦：过该定点的直径为终止弦，其长度满足$|AB{|}_{\max }=2R$；

   • 最短弦：过该定点且与连线$CP$（$C$为圆心）垂直的弦为最短的弦，其长度公式满足：

     $|AB{|}_{\min }=2\sqrt{R^2-|CP{|}^2}$

     本题中文$R^2=5,|CP|=1$，代入推广公式可直接得到$|AB{|}_{\min }=2\sqrt{5-1}=4$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2010-江西卷文-10 单-直线与圆弦长定参
• 2013-山东卷文-13 填-圆最短弦
• 2013-江西卷理-09 单-直线与圆