2013-山东卷文-13 填-圆最短弦

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系，以及弦长。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(文)） 过点 $(3,1)$ 作圆 $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=4$ 的弦，其中最短弦的长为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆心 $O(2,2)$，$r=2$；$|OP|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}<2$，点在圆内。
2. 最短弦过 $P(3,1)$ 且 $OP$ 为弦心距：半弦长 $=\sqrt{r^2-|OP{|}^2}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}$。
3. 弦长 $=2\sqrt{2}$。

✅【答案】

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$2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

圆 $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=4$ 的圆心为 $O(2,2)$，半径 $r=2$。 点 $P(3,1)$ 到圆心的距离 $|OP|=\sqrt{(3-2{)}^2+(1-2{)}^2}=\sqrt{2}<2,$ 点 $P$ 在圆内。 过圆内一点 $P$ 的所有弦中，以 $OP$ 为弦心距（即垂直于 $OP$）的弦最短。由勾股关系，半弦长 $\sqrt{r^2-|OP{|}^2}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2},$ 所以最短弦长为 $2\sqrt{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的弦长（几何法）

核心方法：圆心 $(2,2)$、$r=2$、$|OP|=\sqrt{2}$；最短弦过 $P$ 且垂直于 $OP$：半弦长 $\sqrt{4-2}=\sqrt{2}$，弦长 $2\sqrt{2}$

避坑指南：“过圆内定点的弦”中：最短弦 ⟂ 圆心与定点的连线，最长弦即直径方向；用勾股 ${\left(\frac{l}{2}\right)}^2=r^2-d^2$ 求半弦长——先验证点在圆内（$\sqrt{2}<2$），在最短弦存在性上不含糊。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆的位置关系（弦长问题，全国卷高频）。

结论推广：弦心距 $d$、半弦长 $\frac{l}{2}$、半径 $r$：${\left(\frac{l}{2}\right)}^2+d^2=r^2$；过圆内定点 $P$ 的弦中最短者垂直于 $OP$（$O$ 为圆心），此时 $d=|OP|$。

方法推广：圆的弦长几何法三步：定圆心半径 → 定弦心距（垂直关系）→ 勾股求弦长。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-安徽卷文-06 单-直线与圆
• 2014-山东卷文-14 填-圆的标准方程