2025-上海卷-08 填-基本不等式

本题导读

本题是基本不等式中经典的条件最值问题. 通过“乘1法”进行代数变形，或者利用消元法转化为二次函数求最值，考查学生对不等式链及其成立条件的灵活运用.

📌【题干】

Question

（2025年上海卷）设 $a>0$，$b>0$，$a+\frac{1}{b}=1$，则 $b+\frac{1}{a}$ 的最小值为 $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

本题属于“已知等式条件，求代数式最值”的典型题型.

1. 乘“1”法（推荐）：由于已知条件 $a+\frac{1}{b}=1$，将目标式 $b+\frac{1}{a}$ 乘以这个“1”，展开后利用基本不等式求解.
2. 换元法：令 $m=\frac{1}{b}$，将结构不对称的条件转化为对称形式 $a+m=1$，求 $\frac{1}{m}+\frac{1}{a}$ 的最小值.
3. 消元法：由已知得 $b=\frac{1}{1-a}$（注意 $0<a<1$），代入目标式转化为关于 $a$ 的单变量函数求最值.

✅【答案】

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4

✍【详细解析】

Abstract

乘“1”法（常数代换法） 由于 $a+\frac{1}{b}=1$，目标式的值保持不变： $b+\frac{1}{a}=\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{a}\right)$ 展开括号： $=ab+1+1+\frac{1}{ab}=2+\left(ab+\frac{1}{ab}\right)$ 因为 $a,b>0$，所以 $ab>0$。根据基本不等式： $ab+\frac{1}{ab}⩾2\sqrt{ab\cdot \frac{1}{ab}}=2$ 所以： $b+\frac{1}{a}⩾2+2=4$ 当且仅当 $ab=\frac{1}{ab}$，即 $ab=1$ 时取等号. 联立 $a+\frac{1}{b}=1$ 与 $ab=1$，解得 $a=\frac{1}{2},b=2$.

故填：4.

其他精彩解法

消元法（函数法） 由 $a+\frac{1}{b}=1$ 得 $\frac{1}{b}=1-a$. 因为 $b>0$ 且 $a>0$，故 $1-a>0⟹0<a<1$. 则 $b=\frac{1}{1-a}$，代入目标式： $b+\frac{1}{a}=\frac{1}{1-a}+\frac{1}{a}=\frac{a+(1-a)}{a(1-a)}=\frac{1}{a-a^2}$ 设分母 $f(a)=-a^2+a=-(a-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{1}{4}$. 当 $a=\frac{1}{2}$ 时，$f(a)$ 取得最大值 $\frac{1}{4}$. 由于分子为正数且恒定，分母取最大值时，整体取得最小值： $y_{min}=\frac{1}{1/4}=4$.

柯西不等式（权方和不等式） 令 $m=\frac{1}{b}$，则 $a+m=1$。求 $\frac{1}{a}+\frac{1}{m}$ 的最小值。 利用柯西不等式： $(a+m)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{m}\right)⩾{\left(\sqrt{a}\cdot \frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{m}\cdot \frac{1}{\sqrt{m}}\right)}^2$ $1\cdot \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{m}\right)⩾(1+1{)}^2=4$ 当且仅当 $a=m=\frac{1}{2}$ 时等号成立.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳： -模型总结：已知 $mx+ny=k$，求 $\frac{A}{x}+\frac{B}{y}$ 的最值，首选“乘1法”.

• 对勾函数 $f(x)=x+\frac{k}{x}$：在处理单变量消元后的式子时，对勾函数的单调性也是求最值的常用工具.

2. 方法总结：

• 结构转换：题目给出 $a$ 与 $\frac{1}{b}$ 的非对称结构旨在干扰. 通过换元 $m=\frac{1}{b}$ 还原为课本经典模型是极佳的应试策略.
• 避坑指南：使用基本不等式时，务必校验“一正、二定、三相等”中的等号成立条件. 本题中 $a=1/2,b=2$ 均在正数域内，条件成立.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 若 $a,b>0,a+b=1$，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 的最小值为 4；进一步推广，$(a+\frac{1}{a}{)}^2+(b+\frac{1}{b}{)}^2$ 的最小值常考.

2. 方法的推广:

• 权方和不等式：$\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}⩾\frac{(x_1+x_2{)}^2}{y_1+y_2}$. 本题可看作 $\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{m}⩾\frac{(1+1{)}^2}{a+m}=4$.

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 03.03 柯西不等式

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式
• 2008-江苏卷-11 填-条件最值消元
• 2008-江西卷理-11