2008-江苏卷-11 填-条件最值消元

本题导读

本题考查条件最值：用 $x-2y+3z=0$ 把 $y$ 用 $x,z$ 表示，再对 $\frac{y^2}{xz}$ 使用均值不等式。

📌【题干】

Question

（2008年江苏卷） 设 $x$，$y$，$z$ 为正实数，满足 $x-2y+3z=0$，则 $\frac{y^2}{xz}$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由条件 $y=\frac{x+3z}{2}$。
2. $\frac{y^2}{xz}=\frac{(x+3z{)}^2}{4xz}$，分子用 $(x+3z{)}^2⩾12xz$ 放缩。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

由 $x-2y+3z=0$ 得 $y=\frac{x+3z}{2}$，于是 $\frac{y^2}{xz}=\frac{(x+3z{)}^2}{4xz}$。 由均值不等式 $x+3z⩾2\sqrt{3xz}$，故 $(x+3z{)}^2⩾12xz$， 从而 $\frac{y^2}{xz}⩾\frac{12xz}{4xz}=3$。 当且仅当 $x=3z$（此时 $y=3z$）时取等号，例如 $x=3$，$y=3$，$z=1$ 满足条件且 $\frac{y^2}{xz}=3$。 所以最小值为 $3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：条件等式下的多元最值

核心方法：代入消元化为一元分式，均值不等式放缩

避坑指南：$x$、$z$ 均为正数是使用均值不等式的前提；取等条件 $x=3z$ 要代回原约束验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2010 江苏卷第 12 题、2009 湖南文第 10 题同考条件最值。

结论推广：等式约束下消元后，分子分母同次时常用均值不等式。

方法推广：消元后先看取等能否实现，取不到等号说明最小值在边界。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2010-江苏卷-12 填-拼凑法条件最值
• 2009-湖南卷文-10 填-基本不等式最值
• 2010-浙江卷文-15 填-基本不等式最值
• 2009-江苏卷-19 解-满意度与基本不等式