2025-上海卷-17 解-统计综合

本题导读

本题是一道结合奥运会体育数据的统计概率综合题。考查了基础统计量（极差、中位数）的计算，古典概型的概率求解，以及利用线性回归方程进行数值预测的能力，侧重考查数据处理与运算素养.

📌【题干】

Question

（2025年上海卷）024 年奥运会，中国获得了男子 $4\times 100$ 米混合泳接力金牌.以下是历届奥运会男子 $4\times 100$ 米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列： $206.78,207.46,207.95,209.34,209.35,210.68,$

$213.73,214.84,216.93,216.93$

（1）求这组数据的极差与中位数；

（2）从这 10 个数据中任选 3 个，求恰有 2 个数据在 211 以上的概率；

（3）若比赛成绩 $y$ 关于年份 $x$ 的回归方程为 $\hat{y}=-0.311x+\hat{b}$，已知年份 $x$ 的平均数为 2006，预测 2028 年冠军队的成绩（精确到 0.01 秒）.

🔍【思路分析】

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1. 统计基础：利用极差公式 $x_{\max }-x_{\min }$ 求解；中位数由于数据量为偶数（10 个），需取中间两数（第 5 和 第 6 个）的平均值.
2. 概率模型：首先筛选出“211 以上”的数据个数。利用组合数 $C_n^m$ 计算总事件数（从 10 选 3）和目标事件数（2 个在 211 以上，1 个在 211 以下）.
3. 回归预测：回归直线 $\hat{y}=\hat{a}x+\hat{b}$ 必过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$。先计算成绩均值 $\bar{y}$，代入方程求出 $\hat{b}$，最后带入 $x=2028$ 预测.

✅【答案】

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(1) 极差 $10.15$，中位数 $210.015$

(2) $\frac{3}{10}$

(3) $204.56$ 秒

✍【详细解析】

Abstract

（1）第一问详解

（1）求极差与中位数 极差 $R$： $R=x_{\max }-x_{\min }=216.93-206.78=10.15$ (s). 中位数 $M$： 共有 10 个数据，中位数为第 5 个（209.35）与第 6 个 （210.68）的平均值： $M=\frac{209.35+210.68}{2}=210.015$ (s).

第(2)问详解

（2）求概率 数据分类： “211 以上”的有 4 个：213.73, 214.84, 216.93, 216.93。 “211 以下”的有 6 个：206.78, 207.46, 207.95, 209.34, 209.35, 210.68. 计算概率：

• 总选法：$C_{10}^3=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120$.
• 恰有 2 个在 211 以上（即 2 个高，1 个低）：$C_4^2\times C_6^1=6\times 6=36$.
• 概率 $P=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}=0.3$.

第(3)问详解

（3）回归预测 计算样本均值 $\bar{y}$： $\bar{y}=\frac{206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+216.93+216.93}{10}$ $\bar{y}=\frac{2113.99}{10}=211.399$. 确定回归常数 $\hat{b}$： 回归方程过 $(\bar{x},\bar{y})=(2006,211.399)$： $211.399=-0.311\times 2006+\hat{b}$ $\hat{b}=211.399+623.866=835.265$.

预测 2028 年成绩： 当 $x=2028$ 时： $\hat{y}=-0.311\times 2028+835.265=-630.708+835.265=204.557$. 精确到 0.01 秒，预测成绩为 204.56 秒.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 标准差与方差：反映数据的波动程度.

• 相关系数 $r$：反映变量之间线性相关关系的强度.

2. 方法总结：

• 中位数的判定：奇数个取中间，偶数个取平均。这是统计学中最易失分的细节.
• 回归方程的灵魂：样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$ 是联系已知均值与未知系数 $\hat{b}$ 的唯一桥梁.
• 计算技巧（均值平移）：手动计算 $\bar{y}$ 时，可取基准值（如 210），计算偏离值的均值后再相加，能有效降低大数加法错误率.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广: 回归系数 $\hat{a}=-0.311$ 表示年份每增加 1 年，成绩预计平均下降 0.311 秒.

2. 方法的推广:

• 分层抽样：若将数据按年代分组后再抽取，则涉及分层抽样的概率计算.

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.02 百分位数与四分位数
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-18 解-卡片抽取概率
• 2009-江苏卷-05 填-古典概型
• 2013-上海卷文-11 填-古典概型积偶