2025-北京卷-12 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式展开式的系数特征。通过观察多项式的结构，灵活运用赋值法（令 $x = 0$ 或构造整体变量为 1）可以快速剥离常数项和求得系数组合，避免繁琐的展开计算.

📌【题干】

Question

（2025年北京卷）已知 $(1 - 2 x)^{4} = a_{0} - 2 a_{1} x + 4 a_{2} x^{2} - 8 a_{3} x^{3} + 16 a_{4} x^{4}$ ，则 $a_{0} =$ ； $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} =$ .

🔍【思路分析】

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求解 $a_{0}$ ：观察等式结构， $a_{0}$ 是多项式的常数项。利用恒等式的性质，令 $x = 0$ 即可直接剥离出常数项.

求解系数组合 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ ：

结构识别：注意到右侧各项的系数结构分别为 $a_{i} \cdot (- 2 x)^{i}$ .

换元简化：令 $t = - 2 x$ ，则原等式可以看作 $(1 + t)^{4}$ 关于 $t$ 的展开式.

整体赋值：在关于 $t$ 的恒等式中，令 $t = 1$ 即可得到 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ 的总和.

计算目标值：用总和减去已求得的 $a_{0}$ 即可得到结果.

✅【答案】

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1；15

✍【详细解析】

Abstract

1. 求解常数项 $a_{0}$ ： 已知恒等式： $(1 - 2 x)^{4} = a_{0} - 2 a_{1} x + 4 a_{2} x^{2} - 8 a_{3} x^{3} + 16 a_{4} x^{4}$ 令 $x = 0$ ，代入等式两边： $(1 - 2 \times 0)^{4} = a_{0} - 0 + 0 - 0 + 0$ $1^{4} = a_{0} ⟹ a_{0} = 1$

2. 求解系数组合 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ ： 整体换元法（推荐）

将原等式右侧改写为以 $(- 2 x)$ 为项的形式： $(1 - 2 x)^{4} = a_{0} + a_{1} (- 2 x) + a_{2} (- 2 x)^{2} + a_{3} (- 2 x)^{3} + a_{4} (- 2 x)^{4}$ 令 $t = - 2 x$ ，则等式变为： $(1 + t)^{4} = a_{0} + a_{1} t + a_{2} t^{2} + a_{3} t^{3} + a_{4} t^{4}$ 令 $t = 1$ （此时对应原变量 $x = - \frac{1}{2}$ ）： $(1 + 1)^{4} = a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ $2^{4} = 16 = a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ 已知 $a_{0} = 1$ ，代入得： $1 + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 16 ⟹ a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 15$ 故填：1；15

其他精彩解法

：对比系数法 根据二项式展开式 $(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) a^{n - k} b^{k}$ ： $(1 + (- 2 x))^{4} = (0 4) + (1 4) (- 2 x) + (2 4) (- 2 x)^{2} + (3 4) (- 2 x)^{3} + (4 4) (- 2 x)^{4}$ 对比题目给出的式子，易得 $a_{i} = (i 4)$ .

题目要求的式子即为： $(1 4) + (2 4) + (3 4) + (4 4)$ . 根据组合数性质 $\sum_{i = 0}^{n} (i n) = 2^{n}$ ： $\sum_{i = 1}^{4} a_{i} = 2^{4} - a_{0} = 16 - (0 4) = 16 - 1 = 15$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

考点归纳：

组合数对称性与求和： $(k n) = (n - k n)$ ； $\sum (k n) = 2^{n}$ 。

方法总结： “赋值法” 是解决二项式展开式系数和问题的灵魂工具.

求常数项：令 $x = 0$ .

求各项系数和：令 $x$ 使括号内的项为 $1$ .

求奇偶项和：通过分别令项为 $1$ 和 $- 1$ 后联立方程组.

本题的干扰点在于各项前附带了 $2, 4, 8, 16$ 等系数。识别出这些系数恰好是 $(- 2 x)$ 的幂次，并将其看作整体变量 $t$ 是快速解题的关键.

避坑指南：

整体与个体的区别：不要试图先求出每个 $a_{i}$ 再相加，应养成求整体和的习惯，以应对更高次幂的题目.

符号判定：在换元 $t = - 2 x$ 时，注意原式中已经是 $- 2 a_{1} x$ （即 $+ a_{1} (- 2 x)$ ），所以 $a_{i}$ 的符号在换元后保持为正.

📖【试题探源与推广】

Tip

结论的推广: 对于形如 $(a + b x)^{n}$ 的展开式，所有系数之和为 $(a + b)^{n}$ .

方法的推广: 导数法：若要求形如 $\sum k \cdot a_{k}$ 的系数和，可以通过对原多项式求导后再赋值.

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