2012-天津卷理-05 单-二项式系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及展开式指定项系数的求法。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(理)） 在 ${\left(2x^2-\frac{1}{x}\right)}^5$ 的二项展开式中，$x$ 的系数为()

A. $10$　　　　B. $-10$　　　　C. $40$　　　　D. $-40$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项：把 ${\left(2x^2-\frac{1}{x}\right)}^5$ 的通项写成 ${\mathrm{C}}_5^r$ 与幂次的乘积形式。
2. 定指数：合并 $x$ 的指数 $10-3r$，令其等于 $1$，解出 $r=3$。
3. 算系数：把 $r=3$ 代回，注意符号因子 $(-1{)}^r$ 不能丢。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出通项 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_5^r{\left(2x^2\right)}^{5-r}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^r={\mathrm{C}}_5^r{2}^{5-r}(-1{)}^r{x}^{10-2r-r}={\mathrm{C}}_5^r{2}^{5-r}(-1{)}^r{x}^{10-3r}$

第二步：令指数等于 $1$ 由 $10-3r=1$ 得 $r=3$。

第三步：计算系数 ${\mathrm{C}}_5^3\cdot 2^{5-3}\cdot (-1{)}^3=10\times 4\times (-1)=-40$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理的通项公式，指定项系数的求法。

核心方法：通项公式法——写出 $T_{r+1}$ 后令字母的指数等于目标指数，解出 $r$ 再代回。

避坑指南：系数包含符号因子 $(-1{)}^r$ 与常数因子 $2^{5-r}$，只算组合数 ${\mathrm{C}}_5^3$ 会误选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源自二项式定理通项公式的直接应用，是高考填空与选择的经典题型。

结论推广：$(a{x}^p+b{x}^q{)}^n$ 的通项为 ${\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r{x}^{p(n-r)+qr}$，令指数等于目标值即可定位。

方法推广：求”系数”与求”二项式系数”不同，前者必须带上所有常数因子与符号。

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