2025-天津卷-04 单-线面与面面关系

本题导读

本题考查空间中直线与平面、平面与平面的位置关系.要求考生熟练掌握空间平行与垂直的判定定理及性质定理，并能通过构造简单的几何模型（如长方体）进行逻辑排查，是天津卷立体几何板块的常规基础题.

📌【题干】

Question

（2025年天津卷）已知 $m$ 是一条直线，$\alpha ,\beta$ 是两个平面，下列命题正确的是()

A. 若 $m\parallel \alpha$，$m\parallel \beta$，则 $\alpha \parallel \beta$　　　　B. 若 $m\perp \alpha$，$m\perp \beta$，则 $\alpha \perp \beta$

C. 若 $m\parallel \alpha$，$m\perp \beta$，则 $\alpha \perp \beta$　　　　　　　　　D. 若 $m\subset \alpha$，$\alpha \perp \beta$，则 $m\perp \beta$

🔍【思路分析】

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解决立体几何性质判定题，最有效的方法是定理对标与反例排查：

1. 选项 A：考查“一条直线同时平行于两个平面”时两平面的关系.线面平行只说明直线与平面无公共点，对另一个平面不产生任何约束.
2. 选项 B：考查面面平行的性质。垂直于同一条直线的两个平面位置关系是固定的.
3. 选项 C：考查面面垂直的判定。可以通过寻找平面内的垂直直线进行转换.
4. 选项 D：考查面面垂直的性质。注意直线在平面内位置的随机性.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

1. 选项 A 判定 若 $m\parallel \alpha$ 且 $m\parallel \beta$，两个平面可能相交. 反例：在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中取棱 $A{A}_1$，由 $A{A}_1\parallel B{B}_1$ 得 $A{A}_1\parallel$ 平面 $BC{C}_1{B}_1$，由 $A{A}_1\parallel D{D}_1$ 得 $A{A}_1\parallel$ 平面 $DC{C}_1{D}_1$，而这两个平面相交于 $C{C}_1$. 一般地，$m\parallel \alpha$ 且 $m\parallel \beta$ 只能推出 $\alpha \parallel \beta$，或 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交且交线平行于 $m$. 故 A 错误.

2. 选项 B 判定 根据空间几何性质，垂直于同一条直线 $m$ 的两个平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 应该是相互平行的，即 $\alpha \parallel \beta$.故 B 错误.

3. 选项 C 判定 由 $m\parallel \alpha$ 可知，根据线面平行的性质，在平面 $\alpha$ 内一定存在一条直线 $l$，使得 $l\parallel m$. 已知 $m\perp \beta$，根据平行线的传递性，若 $l\parallel m$ 且 $m\perp \beta$，则 $l\perp \beta$. 由于直线 $l$ 位于平面 $\alpha$ 内（$l\subset \alpha$）且垂直于平面 $\beta$（$l\perp \beta$），根据面面垂直的判定定理，可得 $\alpha \perp \beta$. 故 C 正确.

4. 选项 D 判定 若 $m\subset \alpha$ 且 $\alpha \perp \beta$，只有当直线 $m$ 垂直于 $\alpha$ 与 $\beta$ 的交线时，$m$ 才垂直于 $\beta$. 否则，直线 $m$ 可能与 $\beta$ 平行，也可能与 $\beta$ 相交但不垂直. 故 D 错误.

综上，故选：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳： 核心判定定理总结：

• 面面垂直判定：线面垂直 $\Rightarrow$ 面面垂直。即“面内有一线垂直于另一面，则两面垂直”.

• 垂直关系的传递：垂直于同一直线的两平面平行；垂直于同一平面的两直线平行.

2. 方法总结：

• 空间模型辅助：空间想象遇到阻碍时，可以利用教室的墙角（三个平面两两垂直）或课本作为模型进行模拟.

3. 避坑指南：“两面相交”干扰：$m\parallel \alpha$ 且 $m\parallel \beta$ 时，直觉容易把两个平面“推成”平行，实际上只要两面交线与 $m$ 平行，绕这条交线张成任意角度都满足条件.判定两面平行必须另找“一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面”.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广: 若 $m\perp \alpha$，$n\perp \beta$，且 $m\perp n$，则 $\alpha \perp \beta$.

2. 方法的推广:

向量法：将直线方向向量设为 $\vec{u}$，平面法向量设为 $\vec{n}$。$m\parallel \alpha ⟺\vec{u}\cdot {\vec{n}}_{\alpha }=0$；$m\perp \beta ⟺\vec{u}\parallel {\vec{n}}_{\beta }$。由此推导出 ${\vec{n}}_{\alpha }\cdot {\vec{n}}_{\beta }=0$，即 $\alpha \perp \beta$.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷理-08 单-直线与平面的位置关系
• 2013-辽宁卷理-18 解-直线与平面垂直判定
• 2014-湖北卷理-19 解-线面平行