2013-江西卷理-08 单-直线与平面的位置关系

本题导读

本题考查空间点线面的位置关系，以及直线与平面的位置关系。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(理)） 如果正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 $\alpha$ 上，且 $AB\parallel CD$，正方体的六个面所在的平面与直线 $CE$，$EF$ 相交的平面个数分别记为 $m$，$n$，那么 $m+n=$ ()

A. 8　　　　　　　B. 9　　　　　　　C. 10　　　　　　　D. 11

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确几何体结构：
   • 正方体：有 3 组相互平行的面。
   • 正四面体 $F-ECD$：底面为等边 $△ECD$，侧棱长均相等。
2. 建立空间位置关系：
   • 因为 $AB\parallel CD$，且 $CD$ 在平面 $\alpha$ 内，说明 $CD$ 平行于正方体的前后侧面。
   • 根据正四面体的对称性，考察直线 $EF$ 和 $CE$ 与正方体六个面（上下、前后、左右）的方向矢量关系。
3. 判定 $n$（直线 $EF$ 与平面的交点）：
   • $EF$ 位于正四面体的对称面上。分析其与正方体各组平行面的夹角，若不平行则必相交。
4. 判定 $m$（直线 $CE$ 与平面的交点）：
   • $CE$ 位于底面 $\alpha$ 内。分析其与底面及四个侧面的关系。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析直线 $EF$ 与正方体六个面的位置关系（求 $n$）

• 上下底面：$EF$ 与平面 $\alpha$（底面）相交于 $E$，与上底面也必相交。计 2 个。
• 前后侧面：由于 $AB\parallel CD$，且 $EF$ 在垂直于 $CD$ 的对称面上，$EF$ 的投影与 $AB$ 垂直。因此 $EF$ 与平行于 $AB$ 的前后侧面都不平行。计 2 个。
• 左右侧面：由对称性可知 $EF$ 不平行于左右侧面。计 2 个。
• 修正分析：在空间中，直线与平面只有“平行”和“相交”两种关系（直线在平面内属于相交的特例，但此处面是无限延伸的）。
  • $EF$ 与上下底面不平行 $⟹$ 相交。
  • $EF$ 与前后侧面不平行 $⟹$ 相交。
  • $EF$ 与左右侧面不平行 $⟹$ 相交。
  • 事实上，过 $EF$ 作垂直于 $CD$ 的平面 $\beta$，由于 $CD\parallel AB$，该平面 $\beta$ 平行于正方体的左右侧面。此时 $EF\subset \beta$，故 $EF$ 与正方体左右侧面所在平面平行。
  • 因此，$n=6-2=4$。

第二步：分析直线 $CE$ 与正方体六个面的位置关系（求 $m$）

• 上下底面：$CE$ 在底面 $\alpha$ 内，由于“面所在的平面”是无限延伸的，$CE\subset \alpha$，在立体几何判定中通常视为与该平面有无数个交点（即不平行）。但题目通常考查的是非包含的相交。若 $CE$ 平行于上底面，则与上下底面均不相交。
• 侧面：$CE$ 与 $CD$ 成 $60^{\circ }$ 角。因为 $CD\parallel AB$，且 $AB$ 平行于侧面，易证 $CE$ 与四个侧面都不平行。
• 结论：同理可推导，$m=4$。

第三步：求和 $m+n=4+4=8$。

故正确答案为：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与平面平行的判定。若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线平行于平面。 2. 空间想象：利用 $AB\parallel CD$ 这一关键条件，将复杂的线面关系转化为投影关系来观察。

核心方法：见详细解析

避坑指南：很多考生会漏掉“直线在平面内”或者误判空间角度。记住：只要直线方向不落在平面的平移方向上，在无限延伸的平面模型下，它们一定相交。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面平行的判定定理、面面垂直的性质、正四面体的几何特征。

结论推广：在处理正方体与其它多面体组合时，建立空间直角坐标系利用向量垂直（$\vec{l}\cdot \vec{n}=0$）验证平行是最严谨的方法。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2025-天津卷-04 单-线面与面面关系
• 2024-甲卷理-10 单-线面位置关系
• 2014-浙江卷文-06 单-线面位置关系