2026-北京卷-14 填-三棱锥体积表面积

本题导读

本题考查三棱锥的面积与体积计算。第一步利用余弦定理求出底面三角形的内角，进而结合面积公式求出底面积；第二步根据三条侧棱等长的几何性质，确定顶点 $A$ 在底面的投影为底面三角形的外心，利用正弦定理求出外接圆半径，从而解出三棱锥的高，最终求得体积。

📌【题干】

Question

（2026年北京卷）三棱锥 $A-BCD$ 中， $AD=AB=AC=2\sqrt{2}$， $BD=BC=2$， $DC=2\sqrt{3}$，则其底面 $BCD$ 的面积为 $\underline{}$ ，体积为 $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

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1. 第一步：计算底面 $△BCD$ 的面积：

• 已知 $△BCD$ 的三边长，利用余弦定理求出最大角 $\angle DBC$ 的余弦值，进而确定角度为 $120^{\circ }$。
• 利用正弦面积公式 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$ 直接计算出底面积。

2. 第二步：确定顶点 $A$ 在底面的投影位置：

• 题干给出 $AB=AC=AD=2\sqrt{2}$，侧棱等长。
• 设 $A$ 在底面 $BCD$ 上的投影点为 $O$，则直角三角形 $△AOB\cong △AOC\cong △AOD$，从而可得 $OB=OC=OD$。
• 几何结论：投影点 $O$ 必定是底面 $△BCD$ 的外心。

3. 第三步：求解外接圆半径与棱锥高：

• 在钝角 $△BCD$ 中，利用正弦定理 $2R=\frac{a}{\sin A}$ 求出外接圆半径 $R=OB$。
• 在直角 $△AOB$ 中，利用勾股定理求出高 $h=AO=\sqrt{A{B}^2-O{B}^2}$。

4. 第四步：代入体积公式计算：

• 由 $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}\cdot h$ 求得最终体积。

✅【答案】

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$\sqrt{3}$ ； $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

在底面 $△BCD$ 中，已知 $BD=2,BC=2,DC=2\sqrt{3}$。 根据余弦定理，求内角 $\angle DBC$ 的余弦值： $\cos \angle DBC=\frac{B{D}^2+B{C}^2-D{C}^2}{2\cdot BD\cdot BC}$ 代入数据： $\cos \angle DBC=\frac{2^2+2^2-(2\sqrt{3}{)}^2}{2\times 2\times 2}=\frac{4+4-12}{8}=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}$ 因为 $\angle DBC\in (0,\pi )$，所以： $\angle DBC=120^{\circ }$

根据三角形面积公式，底面积 $S_{△BCD}$ 为： $S_{△BCD}=\frac{1}{2}\cdot BD\cdot BC\cdot \sin \angle DBC$ $S_{△BCD}=\frac{1}{2}\times 2\times 2\times \sin 120^{\circ }=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

设顶点 $A$ 在底面 $BCD$ 上的垂直投影点为 $O$，连接 $OB,OC,OD$。 则 $AO\perp$ 平面 $BCD$，所以 $AO\perp OB,AO\perp OC,AO\perp OD$。 在直角三角形 $△AOB,△AOC,△AOD$ 中： $OB=\sqrt{A{B}^2-A{O}^2},OC=\sqrt{A{C}^2-A{O}^2},OD=\sqrt{A{D}^2-A{O}^2}$ 由于已知侧棱长 $AB=AC=AD=2\sqrt{2}$，因此可得： $OB=OC=OD$ 根据外心定义，点 $O$ 是 $△BCD$ 的外接圆圆心（外心），线段 $OB$ 的长度即为外接圆半径 $R$。

根据正弦定理，在 $△BCD$ 中： $2R=\frac{DC}{\sin \angle DBC}⟹R=\frac{DC}{2\sin 120^{\circ }}$ 代入： $R=\frac{2\sqrt{3}}{2\times \frac{\sqrt{3}}{2}}=2$

在直角 $△AOB$ 中，由勾股定理求出高 $h=AO$： $h=\sqrt{A{B}^2-R^2}=\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2-2^2}=\sqrt{8-4}=2$

根据棱锥的体积计算公式： $V=\frac{1}{3}\cdot S_{△BCD}\cdot h$ 代入已求得的 $S_{△BCD}=\sqrt{3}$ 和 $h=2$： $V=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}\times 2=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

故答案为： $\sqrt{3}$ ； $\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面余弦定理与正弦面积公式的代数控算；“侧棱等长 $⟹$ 顶点投影为底面外心”的空间射影几何定理；正弦定理求外接圆半径。
2. 核心方法：外心投影高线转化法。
3. 避坑指南：

• 盲目建系引入高维未知数：部分学生因为看到侧棱、底边有对称性，喜欢直接建立空间直角坐标系。由于底面 $△BCD$ 是一个 $120^{\circ }$ 的钝角三角形，建系后各个顶点的坐标（特别是涉及外心和高度）会产生繁琐的根式，极易导致运算过载。
• 公式记错：在用正弦定理求半径时，切记公式为 $\frac{a}{\sin A}=2R$，分母带有系数 2，避免错算成 $R=4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是立体几何模块中考查“线面垂直与锥体体积”的经典填空题。
2. 结论推广： 本题具有强烈的“射影轴线对称性”背景。在任意锥体中，满足“顶点到平面内各点距离相等”的代数条件，与“顶点落在该多边形外接圆轴线上”具有逻辑完全等价性： $\text{点 }A\text{ 到平面上三点 }B,C,D\text{ 等距}⟺A\text{ 在 }△BCD\text{ 外接圆的法线（轴线）上}$ 该射影几何定理是一切正棱锥、圆锥以及球体外接空间多面体中“球心与投影点定位”的最核心基础工具。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2012-山东卷文-17 解-解三角形与等比数列
• 2012-新课标卷文-17 解-正余弦定理解三角形