2026-北京卷-16 解-三角函数性质

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质。第一问利用两角和的正弦公式将函数化为标准正弦型函数，通过周期公式求得 $\omega$，再由特定点处的函数值与参数范围确定 $\phi$ 的值；第二问将函数的相位看作一个整体，利用正弦函数的单调递减区间建立不等式组，求解自变量 $x$ 的取值范围。

📌【题干】

Question

（2026年北京卷）已知函数 $f(x)=2\sin \omega x\cos \phi +2\cos \omega x\sin \phi$ （$\omega >0,0<\phi <\frac{\pi }{2}$） 的最小正周期为 $\pi$，且 $f(0)>0$， $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=1$.

(1) 求 $\omega ,\phi$ 的值；

(2) 求 $f(x)$ 的单调递减区间.

🔍【思路分析】

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1. 第一问分析：

• 利用逆向两角和的正弦公式 $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$，将原函数化简为 $f(x)=2\sin (\omega x+\phi )$。
• 根据最小正周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }=\pi$，直接解出 $\omega$ 的值。
• 将 $x=\frac{\pi }{4}$ 代入化简后的解析式，利用诱导公式 $\sin \left(\frac{\pi }{2}+\phi \right)=\cos \phi$ 构建三角方程，结合 $\phi$ 的取值范围锁定唯一解。

2. 第二问分析：

• 确定完整的函数解析式 $f(x)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$。
• 已知标准正弦函数 $y=\sin u$ 的单调递减区间为 $\left[\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right]$ ($k\in \mathbb{Z}$)。
• 采用整体代换法，令 $\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x+\frac{\pi }{3}\le \frac{3\pi }{2}+2k\pi$，解关于 $x$ 的一元一次不等式组。

✅【答案】

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(1) $\omega =2$, $\phi =\frac{\pi }{3}$ (2) $\left[\frac{\pi }{12}+k\pi ,\frac{7\pi }{12}+k\pi \right]$（$k\in \mathbb{Z}$）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $\omega ,\phi$ 的值

依据两角和的正弦公式： $f(x)=2(\sin \omega x\cos \phi +\cos \omega x\sin \phi )=2\sin (\omega x+\phi )$

因为 $\omega >0$，函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{\omega }$。 由已知条件 $T=\pi$ 可得： $\frac{2\pi }{\omega }=\pi ⟹\omega =2$

又由 $f(0)>0$ 得 $2\sin \phi >0$，结合 $0<\phi <\frac{\pi }{2}$ 知 $\phi$ 为锐角。 将 $\omega =2$ 代入函数解析式中，得 $f(x)=2\sin (2x+\phi )$。 由已知条件 $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=1$ 可得： $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=2\sin \left(2\times \frac{\pi }{4}+\phi \right)=2\sin \left(\frac{\pi }{2}+\phi \right)=1$

根据三角函数的诱导公式 $\sin \left(\frac{\pi }{2}+\phi \right)=\cos \phi$，上式可化为： $2\cos \phi =1⟹\cos \phi =\frac{1}{2}$

因为 $0<\phi <\frac{\pi }{2}$，所以： $\phi =\frac{\pi }{3}$

综上所述，参数的值分别为 $\omega =2$ ， $\phi =\frac{\pi }{3}$。

(2) 求 $f(x)$ 的单调递减区间

由 (1) 得，函数的确定标准解析式为： $f(x)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$

要求函数 $f(x)$ 的单调递减区间，只需其整体相位 $2x+\frac{\pi }{3}$ 落在正弦函数的标准递减区间内。 令： $\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x+\frac{\pi }{3}\le \frac{3\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$

解得自变量 $x$ 的取值范围： $\frac{\pi }{12}+k\pi \le x\le \frac{7\pi }{12}+k\pi$

所以，函数 $f(x)$ 的单调递减区间为 $\left[\frac{\pi }{12}+k\pi ,\frac{7\pi }{12}+k\pi \right]$ ($k\in \mathbb{Z}$)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角和正弦公式的逆向化简；正弦型函数周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$；诱导公式 $\sin (\frac{\pi }{2}+\alpha )=\cos \alpha$；整体代换法求复合三角函数单调区间。
2. 核心方法：整体代换法。
3. 避坑指南：

• 单调区间表示不规范：最终答案必须写成闭区间或集合的形式，不能写成开区间或普通不等式。
• 漏掉周期常数：在写出单调区间的不等式链以及最终结论时，必须在端点处加上周期项 $k\pi$（本题中由于自变量系数为 2，原 $2k\pi$ 变为 $k\pi$），并且必须严格注明约束条件 $k\in \mathbb{Z}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是典型的三角函数综合解答大题（通常作为高考解答题的第一道或第二道题位置），稳定考查公式变形及初等函数图象性质的定量控算。
2. 结论推广： 对于任意标准正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ （$A>0,\omega >0$），其单调递减区间的通解方程组可通过以下整体换元式进行统归求解： $\frac{\pi }{2\omega }+\frac{2k\pi }{\omega }-\frac{\phi }{\omega }\le x\le \frac{3\pi }{2\omega }+\frac{2k\pi }{\omega }-\frac{\phi }{\omega }(k\in \mathbb{Z})$ 直接代入本题参数 $\omega =2,\phi =\frac{\pi }{3}$，可直接验证得到本题的最终结论。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-17 解-三角化简值域
• 2010-山东卷文-17 解-三角周期与最值
• 1983-全国卷理-04