2010-山东卷文-17 解-三角周期与最值

本题导读

考查三角化简与周期。$f(x)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(2\omega x+\frac{\pi }{4}\right)$，周期 $\frac{\pi }{\omega }=\pi$ 得 $\omega =1$；$g(x)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(4x+\frac{\pi }{4}\right)$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{16}\right]$ 上最小值为 $1$。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(文)） 已知函数 $f(x)=\sin (\pi -\omega x)\cos \omega x+{\cos }^2\omega x$（$\omega >0$）的最小正周期为 $\pi$.

(1) 求 $\omega$ 的值；

(2) 将函数 $y=f(x)$ 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数 $y=g(x)$ 的图象，求函数 $y=g(x)$ 在区间 $\left[0,\frac{\pi }{16}\right]$ 上的最小值.

🔍【思路分析】

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1. $\sin (\pi -\omega x)=\sin \omega x$，$f(x)=\sin \omega x\cos \omega x+{\cos }^2\omega x$。
2. $f(x)=\frac{1}{2}\sin 2\omega x+\frac{1+\cos 2\omega x}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(\sin 2\omega x+\cos 2\omega x)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(2\omega x+\frac{\pi }{4}\right)$。
3. 周期 $T=\frac{2\pi }{2\omega }=\frac{\pi }{\omega }=\pi$，故 $\omega =1$。
4. $g(x)=f(2x)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(4x+\frac{\pi }{4}\right)$。
5. $x\in \left[0,\frac{\pi }{16}\right]$ 时 $4x+\frac{\pi }{4}\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$，正弦递增，最小在 $x=0$ 处取 $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
6. $g(x{)}_{\min }=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=1$。

✅【答案】

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(1) $\omega =1$

(2) 最小值为 $1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $\sin (\pi -\omega x)=\sin \omega x$，得 $f(x)=\sin \omega x\cos \omega x+{\cos }^2\omega x=\frac{1}{2}\sin 2\omega x+\frac{1+\cos 2\omega x}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(\sin 2\omega x+\cos 2\omega x)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(2\omega x+\frac{\pi }{4}\right).$ 函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{2\omega }=\frac{\pi }{\omega }.$ 由题意 $T=\pi$，即 $\frac{\pi }{\omega }=\pi$，故 $\omega =1$. (2) 将 $y=f(x)$ 图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$，即用 $2x$ 替换 $x$，得 $g(x)=f(2x)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(4x+\frac{\pi }{4}\right).$ 当 $x\in \left[0,\frac{\pi }{16}\right]$ 时，$4x+\frac{\pi }{4}\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$，正弦函数在该区间上单调递增， 故 $g(x)$ 在 $x=0$ 处取得最小值，此时 $g(0)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.$ 所以函数 $y=g(x)$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{16}\right]$ 上的最小值为 $1$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的周期与最值

核心方法：化简 $f(x)$ 为 $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(2\omega x+\frac{\pi }{4}\right)$，由周期定 $\omega$，再求 $g(x)$ 最值

避坑指南：横坐标缩短到 $\frac{1}{2}$ 是用 $2x$ 替换 $x$，故 $g(x)$ 中角变为 $4x$；区间 $\left[0,\frac{\pi }{16}\right]$ 内角在 $\left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$，正弦递增，最小值在左端点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等变换化简为单一正弦型后，周期、最值、单调区间都顺势可解。

结论推广：$\sin \omega x\cos \omega x+{\cos }^2\omega x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(2\omega x+\frac{\pi }{4}\right)$，周期 $\frac{\pi }{\omega }$。

方法推广：图象伸缩变换记”横坐标缩短到 $\frac{1}{k}$ 即用 $kx$ 替换 $x$“，再在给定区间上定角的范围求最值。

🔗【关联脉络】

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• 10.05 正切恒等式

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-04 单-三角函数周期
• 2011-重庆卷文-18 解-三角化简平移最值
• 2012-四川卷文-18 解-三角恒等变换与值域
• 2012-北京卷文-15 解-三角化简周期与单调