2026-天津卷-03 单-线性相关关系

本题导读

本题考查概率统计中变量间的相关性以及线性回归方程的基础概念。核心在于准确理解相关系数 $r$ 的正负号对相关方向的决定作用，以及回归预测值 $\hat{y}$ 与实际观测值 $y$ 之间的本质区别。

📌【题干】

Question

（2026年天津卷）调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数 $r=-0.91$，根据二乘法算得： $\hat{y}=-1.17x+1370.7$，下列说法正确的是（ ）

A. $y$ 与 $x$ 负相关

B. 当 $x=10$ 时， $y$ 一定为 1359

C. 当 $x=10$ 时， $y$ 一定小于 1359

D. 两变量无线性关系

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析相关性方向：通过相关系数 $r=-0.91<0$ 或散点图自左上向右下倾斜的趋势，判定变量之间的相关类型（正相关或负相关）。
2. 分析回归方程的预测特征：回归方程中的 $\hat{y}$ 是在给定自变量 $x$ 时因变量的预测值（或平均估计值），而非必然发生的精确实际值 $y$。
3. 比对选项进行排除：

• $r=-0.91$ 且 $|r|$ 接近 1，说明具有很强的线性相关关系，且为负相关。
• 当 $x=10$ 时，代入方程算得的是预测值 $\hat{y}=1359$，实际观测值 $y$ 会在 1359 上下波动，无法断定“一定等于”或“一定小于”。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

• 对于 A、D 选项： 已知相关系数 $r=-0.91$。因为 $r<0$，说明两个变量之间呈现负相关关系。 同时， $|r|=0.91$ 距离 1 非常接近，从散点图也可以看出样本点集中在一条直线附近，表明两变量具有很强的线性相关关系。 因此，A 选项正确，D 选项错误。

• 对于 B、C 选项： 将 $x=10$ 代入回归方程 $\hat{y}=-1.17x+1370.7$ 得： $\hat{y}=-1.17\times 10+1370.7=-11.7+1370.7=1359$ 这里的 1359 是当温度 $x=10^{\circ }\text{C}$ 时候鸟数量的预测值（估计值），而真实的实际观测值 $y$ 受到随机误差的影响，具有不确定性，在 1359 附近波动。 所以，不能断定实际值 $y$ “一定等于 1359” 或 “一定小于 1359”。 因此，B、C 选项均错误。

故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：相关系数 $r$ 的符号判定（$r>0$ 正相关， $r<0$ 负相关）；线性回归模型的统计预测随机性。
2. 核心方法：概念特征比对法。
3. 避坑指南：混淆“预测值 $\hat{y}$”与“实际值 $y$”。回归分析属于统计学范畴而非确定性的代数函数，带有“一定”、“必然”等绝对化字眼的确定性表述在非极端情况下通常是错误的。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考天津卷对选择题常规统计概念的考查，主要测试学生对统计数据、散点图以及回归方程局限性的基本科学素养。
2. 结论推广：在线性回归模型 $y={\beta }_0+{\beta }_{1}x+ϵ$ （其中 $ϵ$ 为随机误差项）中，只有当样本点完全共线（即 $|r|=1$）且无随机误差时，预测值才等同于实际值。对于实际应用中的任何统计回归模型，预测区间只能以概率的形式（置信区间）给出，无法给出单一确定的实际真值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷理-03 单-线性回归方程
• 2010-广东卷文-12 填-中位数与正相关
• 2010-湖南卷文-03 单-回归方程负相关