2015-福建卷理-04 单-线性回归方程

本题导读

本题考查线性回归方程的求法及预测应用。解题的关键是理解回归直线必过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$，通过计算均值求得截距 $\hat{a}$，进而利用方程进行估算。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(理)） 为了了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表：

| 收入 $x$（万元） | 8.2 | 8.6 | 10.0 | 11.3 | 11.9 | | 支出 $y$（万元） | 6.2 | 7.5 | 8.0 | 8.5 | 9.8 |

根据上表可得回归直线方程 $\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$，其中 $\hat{b}=0.76$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$.据此估计，该社区一户收入为 15 万元家庭年支出为 ()

A. 11.4 万元　　B. 11.8 万元　　C. 12.0 万元　　D. 12.2 万元

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算均值：首先计算样本数据的算术平均数 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$。
2. 确定截距：将 $\bar{x},\bar{y}$ 及已知斜率 $\hat{b}=0.76$ 代入公式 $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$，求出回归方程中的截距 $\hat{a}$。
3. 建立方程：写出完整的线性回归方程。
4. 预测估值：将待预测的自变量 $x=15$ 代入方程，计算对应的因变量 $\hat{y}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算样本平均数 $\bar{x}=\frac{8.2+8.6+10.0+11.3+11.9}{5}=\frac{50}{5}=10.0$（万元）； $\bar{y}=\frac{6.2+7.5+8.0+8.5+9.8}{5}=\frac{40}{5}=8.0$（万元）。

第二步：计算回归方程参数 $\hat{a}$ 已知回归直线必过样本中心点 $(10,8)$，代入 $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$ 得： $\hat{a}=8.0-0.76\times 10.0=8.0-7.6=0.4$。

第三步：建立回归方程 回归直线方程为：$\hat{y}=0.76x+0.4$。

第四步：预测支出值 将 $x=15$ 代入方程： $\hat{y}=0.76\times 15+0.4=11.4+0.4=11.8$（万元）。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心性质：线性回归直线 $\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$ 恒过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$。这是求解截距项最常用也最快捷的逻辑。
2. 计算细节：均值计算的准确性直接决定后续所有结果，建议在计算 $\bar{x}$ 时利用凑整法（如 $8.2+11.8$）减少误差。
3. 应用意识：线性回归方程主要用于描述变量间的相关关系及进行短期预测。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 在某些选择题中，如果没有给出 $\hat{b}$，可能需要利用公式 $\hat{b}=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}$ 进行计算。
• 变式思考: 若本题中 $x$ 与 $y$ 的相关系数 $r$ 接近 0，那么得到的预测值 11.8 万元的可靠性会如何变化？ (提示：相关性越弱，预测值的参考价值越低。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

B

类题演练(Links)

• 2012-湖南卷理-04
• 2007-广东卷理-17 解-回归方程实际预测应用
• 2026-天津卷-03 单-线性相关关系