2026-天津卷-05 单-线面关系

本题导读

本题考查正方体结构中的空间位置关系判定。核心在于利用正方体各棱与各面的天然垂直、平行特征，结合空间几何的线面与面面平行、垂直判定定理，对各选项进行真伪辨析。

📌【题干】

Question

（2026年天津卷）正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，下列说法错误的是 ()

A. $AC\parallel A_1{C}_1$　　　　　　　　　　　　　　B. $C{C}_1\perp$ 平面 $ABC$

C. 平面 $AC{D}_1\parallel$ 平面 $A_1{C}_{1}B$　　　　　　　　D. 平面 $AD{D}_1\perp$ 平面 $AC{D}_1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 A 选项：观察上下底面的对角线 $AC$ 与 $A_1{C}_1$，利用面面平行的性质判定线线平行。
2. 分析 B 选项：正方体的侧棱与底面垂直。平面 $ABC$ 即为底面 $ABCD$，直接判定线面垂直。
3. 分析 C 选项：分别寻找平面 $AC{D}_1$ 内的两条相交直线与平面 $A_1{C}_{1}B$ 内直线的平行关系，利用面面平行的判定定理进行检验。
4. 分析 D 选项：检验平面 $AD{D}_1$（即左侧面 $AD{D}_1{A}_1$）与斜截面 $AC{D}_1$ 的位置关系，通常利用线面垂直来推导面面垂直。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

• A 选项：在正方体中，上底面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1\parallel$ 下底面 $ABCD$。因为侧面 $AC{C}_1{A}_1$ 为矩形，所以对边 $AC\parallel A_1{C}_1$ 恒成立。该说法正确。
• B 选项：在正方体中，侧棱 $C{C}_1\perp$ 下底面 $ABCD$。因为平面 $ABC$ 与底面 $ABCD$ 是同一个平面，所以 $C{C}_1\perp$ 平面 $ABC$ 恒成立。该说法正确。
• C 选项：
• 因为 $AC\parallel A_1{C}_1$，且 $AC\subset$ 平面 $AC{D}_1$，$A_1{C}_1\not\subset$ 平面 $AC{D}_1$，所以 $A_1{C}_1\parallel$ 平面 $AC{D}_1$；
• 同理，由于侧面 $AB{C}_1{D}_1$ 是矩形，有对角线 $A{D}_1\parallel B{C}_1$。而 $A{D}_1\subset$ 平面 $AC{D}_1$，$B{C}_1\not\subset$ 平面 $AC{D}_1$，所以 $B{C}_1\parallel$ 平面 $AC{D}_1$。
• 因为 $A_1{C}_1$ 和 $B{C}_1$ 是平面 $A_1{C}_{1}B$ 内的两条相交直线，根据面面平行的判定定理，可得平面 $AC{D}_1\parallel$ 平面 $A_1{C}_{1}B$ 恒成立。该说法正确。
• D 选项： 平面 $AD{D}_1$ 即为正方体的左侧面 $AD{D}_1{A}_1$。由体对角线与截面的垂直特征可知，体对角线 $D_{1}B\perp$ 平面 $AC{D}_1$。 由于左侧面 $AD{D}_1{A}_1$ 与平面 $AC{D}_1$ 构成的二面角并非直角（可由 $CD\perp$ 平面 $AD{D}_1$，而 $CD$ 与 $AC{D}_1$ 夹角为 $45^{\circ }$ 判定），它们并不垂直。 具体而言，过 $D$ 作 $A{D}_1$ 的垂线，该垂线不垂直于平面 $AC{D}_1$，因而两平面不垂直。该说法错误。

由于题目要求选择说法错误的选项。

故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行的性质与面面平行的判定定理（一平面内的两条相交直线分别平行于另一平面 $⟹$ 两平面平行）；正方体各典型截面的几何空间关系。
2. 核心方法：空间几何定理推导法、正方体模型直观识读法。
3. 避坑指南：在分析 D 选项时，不要混淆正方体的对称面。正方体中相互垂直的经典面通常是相邻侧面（如平面 $AD{D}_1\perp$ 平面 $AB{B}_1$）或底面与侧面。对于含有对角线的不规则斜截面（如 $AC{D}_1$），通常不与原正方体六个标准外侧面垂直。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考立体几何在选择题中的标准基础考查，主要测试学生对立体几何必修核心定理在标准正方体“脚手架”模型中的快速判定与识读能力。
2. 结论推广：在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，由相邻三个顶点的面内对角线所构成的两对偶平面（如平面 $AC{D}_1$ 与平面 $A_1{C}_{1}B$）具有以下重要性质：

• 两平面相互平行，且共同垂直于体对角线 $B{D}_1$；
• 体对角线 $B{D}_1$ 被这两个平行平面三等分；
• 这两个平面与正方体的六个外侧面均不垂直，其夹角的余弦值恒为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷理-23 解-正方体中的垂直、角与体积
• 2000-新课标理-16 填-空间图形的正投影
• 2002-大纲理-11 单-排列组合与计数原理