2026-天津卷-17 解-立几综合

本题导读

本题考查长方体背景下的立体几何综合问题。长方体具有天然的三条两两垂直的棱，适合建立空间直角坐标系。通过将空间几何中的线面垂直、二面角转化为向量的内积与法向量夹角运算，可以实现严谨的代数化求解。第三问体积既可用向量法，亦可用传统几何的等体积转换法简化计算。

📌【题干】

Question

（2026年天津卷） 如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $AB=2$， $A{A}_1=3$， $AD=4$， $A_{1}E=3E{D}_1$， $CF=2C_{1}F$.

(1) 求证：直线 $BD\perp$ 平面 $CEF$；

(2) 求平面 $AEF$ 与平面 $CEF$ 夹角的余弦值；

(3) 求三棱锥 $A-CEF$ 的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间直角坐标系：以 $D$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{D{D}_1}$ 的方向为 $x,y,z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系 $D-xyz$。
2. 写出核心点的坐标：结合长方体的棱长 $AB=2,A{A}_1=3,AD=4$ 以及点 $E,F$ 在对应棱上的比例关系 $A_{1}E=3E{D}_1,CF=2C_{1}F$，精确确定 $D,A,B,C,E,F$ 等各点的空间坐标。
3. 第一问（线面垂直）：求出直线 $BD$ 的方向向量 $\overrightarrow{BD}$，以及平面 $CEF$ 内的两条相交向量 $\overrightarrow{CE}$ 和 $\overrightarrow{CF}$。通过验证 $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{CE}=0$ 且 $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{CF}=0$ 证明线面垂直。
4. 第二问（二面角）：由第一问可知 $\overrightarrow{BD}$ 即为平面 $CEF$ 的一个法向量。接着求解平面 $AEF$ 的法向量 $\vec{n}$，利用两个法向量夹角的余弦公式求出二面角的余弦值。
5. 第三问（体积）：可选用等体积法变形成 $V_{A-CEF}=V_{E-ACF}$，通过计算 $△ACF$ 在底面或侧面投影的面积以及点 $E$ 到该平面的距离直接求解。

✅【答案】

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(1) 证明见解析 (2) $\frac{\sqrt{15}}{5}$ (3) $2$

✍【详细解析】

Abstract

建立坐标系与定点坐标

以 $D$ 为原点，射线 $DA,DC,D{D}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。 由于 $AB=2⟹CD=2$， $AD=4$， $A{A}_1=3⟹D{D}_1=3$。 各顶点坐标为： $D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,2,0),C(0,2,0),D_1(0,0,3),A_1(4,0,3),C_1(0,2,3)$

因为 $A_{1}E=3E{D}_1$，且 $A_1{D}_1=4$，所以 $E{D}_1=1$，点 $E$ 的坐标为： $E(1,0,3)$ 因为 $CF=2C_{1}F$，且 $C{C}_1=3$，所以 $CF=2,C_{1}F=1$，点 $F$ 的坐标为： $F(0,2,2)$

(1) 求证：直线 $BD\perp$ 平面 $CEF$

由各点坐标可得相关向量： $\overrightarrow{BD}=(0-4,0-2,0-0)=(-4,-2,0)$ $\overrightarrow{CE}=(1-0,0-2,3-0)=(1,-2,3)$ $\overrightarrow{CF}=(0-0,2-2,2-0)=(0,0,2)$

计算数量积： $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{CE}=(-4)\times 1+(-2)\times (-2)+0\times 3=-4+4+0=0$ $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{CF}=(-4)\times 0+(-2)\times 0+0\times 2=0$

因为 $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{CE}=0⟹BD\perp CE$，且 $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{CF}=0⟹BD\perp CF$。 又因为 $CE\cap CF=C$，且 $CE,CF\subset$ 平面 $CEF$， 所以 直线 $BD\perp$ 平面 $CEF$。

(2) 求平面 $AEF$ 与平面 $CEF$ 夹角的余弦值

由 (1) 知，平面 $CEF$ 的一个法向量可取为： $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{BD}=(-4,-2,0)$

下面求平面 $AEF$ 的法向量 $\overrightarrow{n_2}=(x,y,z)$。 已知 $A(4,0,0),E(1,0,3),F(0,2,2)$，可得平面内向量： $\overrightarrow{AE}=(1-4,0-0,3-0)=(-3,0,3)$ $\overrightarrow{AF}=(0-4,2-0,2-0)=(-4,2,2)$

由 $\overrightarrow{n_2}\perp \overrightarrow{AE}$ 且 $\overrightarrow{n_2}\perp \overrightarrow{AF}$ 得方程组： $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{AE}=-3x+3z=0\\ \overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{AF}=-4x+2y+2z=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}z=x\\ y=x\end{array}$ 令 $x=1$，则 $y=1,z=1$，得到平面 $AEF$ 的一个法向量为： $\overrightarrow{n_2}=(1,1,1)$

设平面 $AEF$ 与平面 $CEF$ 的夹角为 $\theta$，则： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|(-4)\times 1+(-2)\times 1+0\times 1|}{\sqrt{(-4{)}^2+(-2{)}^2+0^2}\cdot \sqrt{1^2+1^2+1^2}}$ $\cos \theta =\frac{|-6|}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{3}}=\frac{6}{2\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$

所以，平面 $AEF$ 与平面 $CEF$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$。

(3) 求三棱锥 $A-CEF$ 的体积

采用等体积转换法，将三棱锥的底面置换为更易于求高和底面积的平面。 $V_{A-CEF}=V_{E-ACF}$

• 第一步：求 $△ACF$ 的面积 在底面矩形 $ABCD$ 中， $AC$ 为对角线， $AC=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。 由于 $F(0,2,2)$ 垂直投影在 $C(0,2,0)$ 上方且高度为 2，故棱 $FC\perp$ 底面 $ABCD⟹FC\perp AC$。 在直角 $△ACF$ 中，底边 $AC=2\sqrt{5}$，高 $CF=2$： $S_{△ACF}=\frac{1}{2}\times AC\times CF=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{5}\times 2=2\sqrt{5}$

• 第二步：求点 $E$ 到平面 $ACF$ 的距离 $h$ 因为 $FC\perp$ 底面 $ABCD$，而平面 $ACF$ 包含 $FC$，所以平面 $ACF$ 垂直于底面 $ABCD$。 点 $E(1,0,3)$ 到平面 $ACF$ 的距离，即为其在底面投影点 $E^{\prime }(1,0,0)$ 到直线 $AC$ 的距离。 直线 $AC$ 在底面 $xOy$ 坐标系下的方程为： $\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1⟹x+2y-4=0$。 代入点 $E^{\prime }(1,0)$ 到直线的距离公式： $h=\frac{|1+2\times 0-4|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{|-3|}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}$

• 第三步：计算体积 $V_{A-CEF}=V_{E-ACF}=\frac{1}{3}\times S_{△ACF}\times h=\frac{1}{3}\times 2\sqrt{5}\times \frac{3}{\sqrt{5}}=2$

所以，三棱锥 $A-CEF$ 的体积为 $2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间右手坐标系的精确构筑；法向量方程组的参数消元；三棱锥“等体积变换法”的几何截面选择。
2. 核心方法：空间向量坐标法。
3. 避坑指南：在求第二问二面角余弦值时，向量公式计算出的 $\cos ⟨\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}⟩$ 符号由向量方向决定，但两平面夹角的取值范围规定为 $[0,\frac{\pi }{2}]$，因此最终结果必须加绝对值确保输出值为正数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的立体几何高考解答题中档题，通过标准长方体框架，全面考查几何证明与定量控算向空间几何向量化转移的代数控算能力。
2. 结论推广：在任意柱体框架下，求任意三棱锥的体积 $V=\frac{1}{3}S\cdot h$，除了应用传统等体积法外，其向量通解公式可以表示为以任意一点为起点的三个不共线向量的**混合积（Scalar triple product）**绝对值的六分之一： $V_{A-CEF}=\frac{1}{6}|\overrightarrow{AC}\cdot (\overrightarrow{AE}\times \overrightarrow{AF})|$ 将坐标代入该行列式中展开，可直接一步秒杀求得体积为 2。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.01空间向量及其运算
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2002-新课标理-18乙 解-面面垂直的性质定理
• 2002-新课标理-18甲 解-正三棱柱的几何性质
• 2004-全国卷II理-20 解-线面垂直