2012-天津卷理-17 解-二面角

本题导读

本题考查空间线面垂直的证明与空间角的计算。核心在于坐标法、向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(理)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PA\perp$ 平面 $ABCD$，$AC\perp AD$，$AB\perp BC$，$\angle BAC=45^{\circ }$，$PA=AD=2$，$AC=1$.

(1) 证明 $PC\perp AD$；

(2) 求二面角 $A-PC-D$ 的正弦值；

(3) 设 $E$ 为棱 $PA$ 上的点，满足异面直线 $BE$ 与 $CD$ 所成的角为 $30^{\circ }$，求 $AE$ 的长.

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🔍【思路分析】

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1. 建系：由 $PA\perp$ 平面 $ABCD$ 且 $AC\perp AD$，以 $A$ 为原点建空间直角坐标系。
2. 定点坐标：由 $AB\perp BC$ 与 $\angle BAC=45^{\circ }$ 确定点 $B$ 的坐标。
3. 分问处理：(1) 用数量积为 $0$ 证垂直；(2) 求两平面法向量夹角；(3) 用异面直线夹角公式列方程。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $\frac{\sqrt{30}}{6}$

(3) $\frac{\sqrt{10}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：建立空间直角坐标系 由 $PA\perp$ 平面 $ABCD$ 且 $AC\perp AD$，以 $A$ 为原点，$AC$、$AD$、$AP$ 所在直线分别为 $x$、$y$、$z$ 轴建系。 由 $AC=1$，$AD=2$，$PA=2$ 得 $A(0,0,0)$，$C(1,0,0)$，$D(0,2,0)$，$P(0,0,2)$。 设 $B(x,y,0)$。由 $AB\perp BC$ 得 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CB}=0$，即 $x(x-1)+y^2=0$；由 $\angle BAC=45^{\circ }$ 得 $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 解得 $x=\frac{1}{2}$，$y=-\frac{1}{2}$，即 $B\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0\right)$。

第二步：证明第 (1) 问 $\overrightarrow{PC}=(1,0,-2),\overrightarrow{AD}=(0,2,0)$ $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{AD}=1\times 0+0\times 2+(-2)\times 0=0$ 故 $PC\perp AD$。

第三步：求第 (2) 问 平面 $APC$ 即 $xOz$ 平面，取其法向量 ${\mathbf{n}}_1=(0,1,0)$。 对平面 $PCD$，$\overrightarrow{PC}=(1,0,-2)$，$\overrightarrow{PD}=(0,2,-2)$，法向量 ${\mathbf{n}}_2=\overrightarrow{PC}\times \overrightarrow{PD}=(4,2,2),\text{取}{\mathbf{n}}_2=(2,1,1)$ $|\cos ⟨{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2⟩|=\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{1}{\sqrt{6}}$ 故二面角 $A-PC-D$ 的正弦值为 $\sin \theta =\sqrt{1-\frac{1}{6}}=\sqrt{\frac{5}{6}}=\frac{\sqrt{30}}{6}$

第四步：求第 (3) 问 设 $E(0,0,h)$（$0\le h\le 2$），则 $AE=h$，$\overrightarrow{BE}=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},h\right)$。 又 $\overrightarrow{CD}=(-1,2,0)$，$|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{5}$，$\left|\overrightarrow{BE}\right|=\sqrt{\frac{1}{2}+h^2}$。 $\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$ 由异面直线 $BE$ 与 $CD$ 所成角为 $30^{\circ }$： $\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}+h^2}}=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 得 $\frac{1}{2}+h^2=\frac{3}{5}$，故 $h^2=\frac{1}{10}$，$h=\frac{\sqrt{10}}{10}$，即 $AE=\frac{\sqrt{10}}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的性质，二面角与异面直线所成角的向量求法。

核心方法：坐标法——把几何条件翻译为坐标关系，把角的问题转化为向量夹角问题。

避坑指南：建系后点 $B$ 的坐标要由 $AB\perp BC$ 与 $\angle BAC=45^{\circ }$ 两个条件共同确定；求二面角时注意法向量的方向，本题所求为正弦值，符号不影响结果。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由教材空间向量部分例题改编，把线面垂直、二面角、异面直线夹角三问串在一起。

结论推广：二面角 $\theta$ 满足 $|\cos \theta |=\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}$，$\sin \theta$ 由 $\sqrt{1-{\cos }^2\theta }$ 给出。

方法推广：几何法（作出二面角的平面角）与坐标法互为补充，图形规则、垂直关系明显时坐标法更快。

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