2026-新高考I卷-12 填-双曲线离心率

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与离心率的计算。核心意图在于测试学生将非标准形式的双曲线方程转化为标准方程，并准确提取实轴长、虚轴长等几何参数进行离心率求解的基础运算能力。

📌【题干】

Question

（2026年新高考I卷）双曲线 $5x^2-6y^2=1$ 的离心率为 $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：将已知方程 $5x^2-6y^2=1$ 变形为双曲线的标准形式 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，从而确定 $a^2$ 与 $b^2$ 的具体数值。
2. 第二步逻辑：利用双曲线的基本量关系式 $c^2=a^2+b^2$，计算出半焦距的平方 $c^2$。
3. 第三步逻辑：利用离心率定义公式 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{c^2}{a^2}}$，代入参数求得最终结果并化简。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{66}}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

将已知的双曲线方程 $5x^2-6y^2=1$ 改写为标准方程形式： $\frac{x^2}{\frac{1}{5}}-\frac{y^2}{\frac{1}{6}}=1$ 由此可得，该双曲线的焦点在 $x$ 轴上，其中： $a^2=\frac{1}{5},b^2=\frac{1}{6}$

根据双曲线中 $a,b,c$ 的几何关系式 $c^2=a^2+b^2$，代入数值： $c^2=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{6+5}{30}=\frac{11}{30}$ 根据双曲线离心率公式 $e=\frac{c}{a}$，为了简化计算，可先求 $e^2$： $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{\frac{11}{30}}{\frac{1}{5}}=\frac{11}{30}\times 5=\frac{11}{6}$ 对 $e^2$ 进行开方运算，并进行分母有理化： $e=\sqrt{\frac{11}{6}}=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{66}}{6}$ 正确答案：$\frac{\sqrt{66}}{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线标准方程的系数转换；离心率与基本量的代数映射。
2. 核心方法：公式法。
3. 避坑指南：

• 分母倒数混淆陷阱：部分学生容易将 $5x^2-6y^2=1$ 中的系数直接误认为 $a^2=5,b^2=6$，导致算出 $e=\sqrt{\frac{5+6}{5}}=\frac{\sqrt{55}}{5}$。必须牢记标准方程中 $a^2$ 和 $b^2$ 位于分母位置，系数需化为倒数形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题为 2026 年新高考Ⅰ卷填空题的第一题（第 12 题），属于圆锥曲线板块的标准基础检测题。
2. 结论推广： 对于所有形如 $A{x}^2-B{y}^2=1(A>0,B>0)$ 的双曲线方程： 其标准参数恒为 $a^2=\frac{1}{A},b^2=\frac{1}{B}$。其离心率平方的通用推导式为： $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=1+\frac{b^2}{a^2}=1+\frac{\frac{1}{B}}{\frac{1}{A}}=1+\frac{A}{B}=\frac{A+B}{B}$ 因此，离心率的一元化快捷计算公式为： $e=\sqrt{\frac{A+B}{B}}$ 本题中 $A=5,B=6$，直接代入该推广通式： $e=\sqrt{\frac{5+6}{6}}=\sqrt{\frac{11}{6}}=\frac{\sqrt{66}}{6}$ 利用该结论公式，可完全跳过标准方程转换与中间变量计算，实现 1 秒内直接口算输出答案。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-11 填-双曲线方程
• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率