2013-陕西卷理-11 填-双曲线方程

本题导读

本题考查双曲线，以及双曲线的标准方程。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(理)） 双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{m}=1$ 的离心率为 $\frac{5}{4}$，则 $m$ 等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别标准方程：观察方程 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{m}=1$，确定其焦点在 $x$ 轴上。
2. 提取参数：直接得出 $a^2=16$（即 $a=4$），$b^2=m$。
3. 利用性质建立方程：
   • 离心率公式 $e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4}$。
   • 双曲线中 $a,b,c$ 的关系 $c^2=a^2+b^2$。
4. 求解：先求出 $c$，再代入关系式求出 $m$。

✅【答案】

点击查看答案

9

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定参数 $a$ 与 $c$ 由双曲线方程 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{m}=1$ 可知： $a^2=16$，则 $a=4$。 已知离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4}$。 代入 $a=4$ 得：$\frac{c}{4}=\frac{5}{4}⟹c=5$。

第二步：计算参数 $m$ 在双曲线中，焦距、实半轴与虚半轴满足关系式： $c^2=a^2+b^2$ 代入已知数值： $5^2=16+m$ $25=16+m$ $m=9$

故填入答案为：9。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线离心率定义 $e=\frac{c}{a}$ 以及基本恒等式 $c^2=a^2+b^2$。

核心方法：“基本量转换”。在处理圆锥曲线题目时，核心在于 $a,b,c,e$ 这几个基本量之间的互相转化。

避坑指南：切记双曲线中是 $c^2=a^2+b^2$，而椭圆中是 $a^2=b^2+c^2$。公式记混是此类基础题最常见的失分原因。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线的渐近线方程 $y=\pm \frac{b}{a}x$（本题中为 $y=\pm \frac{3}{4}x$）。

结论推广：若已知离心率 $e$ 和 $a^2$，则 $b^2=a^2(e^2-1)$。 本题直接代入：$m=16\times [(\frac{5}{4}{)}^2-1]=16\times (\frac{25}{16}-1)=16\times \frac{9}{16}=9$。

方法推广：“基本量转换”。在处理圆锥曲线题目时，核心在于 $a,b,c,e$ 这几个基本量之间的互相转化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷文-09 单-双曲线方程
• 2015-新课标II卷文-15 填-双曲线
• 2015-新课标I卷文-16 填-双曲线