2026-新高考II卷-13 填-函数零点

本题导读

本题考查函数零点的存在性及参数范围的求解。核心意图在于测试学生利用分离参数思想将零点问题转化为求函数的值域，以及运用基本不等式或换元法确定指数复合函数值域边界的推导能力。

📌【题干】

Question

（2026年新高考II卷）若函数 $f(x)=2^x+2^{-x}-m$ 有两个零点，则 $m$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（参数分离）：根据函数零点的定义，令 $f(x)=0⟹2^x+2^{-x}-m=0$。通过分离参数，将其转化为方程 $m=2^x+2^{-x}$。原函数有两个零点，等价于常数函数 $y=m$ 的图象与复合函数 $g(x)=2^x+2^{-x}$ 的图象有两个不同的交点。
2. 第二步逻辑（求解值域与单调性）：分析函数 $g(x)=2^x+2^{-x}$ 的性质。由于 $2^x>0$，可直接利用基本不等式（均值不等式）求出其全局最小值。
3. 第三步逻辑（确定临界条件）：分析取等号的条件。当 $2^x=2^{-x}⟹x=0$ 时取得最小值，此时只有一个交点。若要保证有两个不同的交点，常数 $m$ 必须严格大于该极小值边界。

✅【答案】

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$(2,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

由题意，函数 $f(x)=2^x+2^{-x}-m$ 有两个零点，即方程： $2^x+2^{-x}-m=0$ 有两个不同的实数根。 分离参数 $m$，得： $m=2^x+2^{-x}$ 设 $g(x)=2^x+2^{-x}$，则问题等价于直线 $y=m$ 与函数 $g(x)$ 的图象有两个不同的交点。

因为对于任意实数 $x$，指数项 $2^x>0$ 且 $2^{-x}>0$ 恒成立。 应用基本不等式（均值不等式）： $g(x)=2^x+2^{-x}\ge 2\sqrt{2^x\cdot 2^{-x}}=2\sqrt{2^0}=2$

$2^x=2^{-x}⟹x=-x⟹2x=0⟹x=0$ 即当且仅当 $x=0$ 时，函数 $g(x)$ 取得最小值： $g(0)=2^0+2^{-0}=1+1=2$

因为 $g(x)=2^x+2^{-x}$ 是一个关于 偶函数：

• 当 $x>0$ 时， $g(x)$ 单调递增，值域为 $(2,+\infty )$；
• 当 $x<0$ 时， $g(x)$ 单调递减，值域为 $(2,+\infty )$。
• 当 $m=2$ 时，直线 $y=m$ 与 $g(x)$ 的图象仅有一个切点 $(0,2)$，此时方程只有一个实根。
• 当 $m>2$ 时，由函数的对称性与单调性，直线 $y=m$ 与 $g(x)$ 的左右两支图象必有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根。

因此， $m$ 的取值范围是 $(2,+\infty )$

**正确答案：$(2,+\infty )$ **

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分离参数法在零点个数判定中的应用；均值不等式求复合指数函数的最值。
2. 核心方法：分离参数法、换元法。
3. 避坑指南：

• 闭区间边界取等陷阱：部分学生在求出最小值 2 之后，习惯性地写出闭区间 $[2,+\infty )$。但需要注意，当 $m=2$ 时，方程退化为重根（即 $x=0$ 唯一解），此时函数只有一个零点。题目要求“两个零点”，必须严格去掉临界等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

本题是函数零点个数与参数范围结合的经典填空题，核心模型为”对勾函数” $y=2^x+2^{-x}$（均值不等式 $y\ge 2$）的值域与图象对称性，属于函数性质与方程思想的交汇基础题。

一般地，$f(x)=a^x+a^{-x}$（$a>0$，$a\ne 1$）为偶函数，在 $x=0$ 处取最小值 $2$：方程 $f(x)=m$ 有两个零点 $⟺m>2$；恰有一个零点 $⟺m=2$；无零点 $⟺m<2$。

含参零点个数问题优先考察内层函数的最值与图象对称性，将零点个数转化为水平线与图象的交点个数来读出，避免盲目求导分类。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷文-20 解-椭圆圆弦长最值
• 2013-福建卷文-07 单-指数和取值范围
• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式