2013-湖南卷理-16 填-指数函数、函数的单调性与零点

本题导读

本题考查函数的性质，以及指数函数、函数的单调性与零点。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(理)） 设函数 $f(x)=a^x+b^x-c^x$，其中 $c>a>0,c>b>0$.

(1)记集合 $M=\{(a,b,c)\mid a,b,c\text{ 不能构成一个三角形的三条边长，且 }a=b\}$，则 $(a,b,c)\in M$ 所对应的 $f(x)$ 的零点的取值集合为 $\underline{}$.

(2)若 $a,b,c$ 是 $△ABC$ 的三条边长，则下列结论正确的是 $\underline{}$（写出所有正确结论的序号）.

① $\forall x\in (-\infty ,1)$，$f(x)>0$；

② $\exists x\in \mathbb{R}$，使 $a^x,b^x,c^x$ 不能构成一个三角形的三条边长；

③ 若 $△ABC$ 为钝角三角形，则 $\exists x\in (1,2)$，使 $f(x)=0$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（零点取值集合）：
   • 三角形判定：$a,b,c$ 不能构成三角形且 $a=b$，意味着 $a+b\le c⟹2a\le c$。
   • 零点方程：$f(x)=a^x+a^x-c^x=2a^x-c^x=0⟹(\frac{c}{a}{)}^x=2$。
   • 范围推导：由 $c\ge 2a$ 知 $\frac{c}{a}\ge 2$。由于 $x={\log }_{\frac{c}{a}}2$，根据对数函数的单调性，当底数 $\ge 2$ 时，$x$ 的取值范围即被确定。
2. 第二问（综合结论判定）：
   • 结论①：利用 $a+b-c>0$（三角形性质）和函数 $f(x)$ 的单调性。将 $f(x)=c^x[(\frac{a}{c}{)}^x+(\frac{b}{c}{)}^x-1]$ 转化为单调性讨论。
   • 结论②：考察当 $x$ 很大时，三边关系是否还能维持。由于 $c$ 是最大边，比较 $a^x+b^x$ 与 $c^x$ 的极限。
   • 结论③：利用钝角三角形性质 $a^2+b^2<c^2$（余弦定理变形），考察 $f(1)$ 与 $f(2)$ 的符号，应用零点存在性定理。

✅【答案】

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①②③

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 因为 $(a,b,c)\in M$ 且 $a=b$，所以 $a+b\le c⟹2a\le c$。 又已知 $c>a>0$，故 $\frac{c}{a}\ge 2$。 令 $f(x)=2a^x-c^x=0$，得 $2=(\frac{c}{a}{)}^x$。 解得 $x={\log }_{\frac{c}{a}}2$。 令底数 $t=\frac{c}{a}$，则 $t\in [2,+\infty )$。 函数 $x(t)={\log }_{t}2=\frac{\ln 2}{\ln t}$ 在 $[2,+\infty )$ 上是减函数。 当 $t=2$ 时，$x=1$；当 $t\to +\infty$ 时，$x\to 0$。 故 $x\in (0,1]$。

（2）解： 分析 $f(x)=c^x[(\frac{a}{c}{)}^x+(\frac{b}{c}{)}^x-1]$。令 $g(x)=(\frac{a}{c}{)}^x+(\frac{b}{c}{)}^x-1$。 因为 $\frac{a}{c}<1,\frac{b}{c}<1$，所以 $g(x)$ 是减函数，从而 $f(x)$ 具有“先正后负”且只有一个零点的特征。

• 对于①：因为 $a,b,c$ 是边长，故 $a+b>c⟹f(1)=a+b-c>0$。 由于 $g(x)$ 单调递减，当 $x<1$ 时，$g(x)>g(1)=\frac{a+b-c}{c}>0$。 故 $f(x)=c^{x}g(x)>0$ 在 $(-\infty ,1)$ 上恒成立。①正确。
• 对于②：当 $x$ 趋向于 $+\infty$ 时，$(\frac{a}{c}{)}^x\to 0,(\frac{b}{c}{)}^x\to 0$，则 $g(x)\to -1$。 这意味着 $a^x+b^x-c^x<0⟹a^x+b^x<c^x$。 因此存在足够大的 $x$，使得 $a^x,b^x,c^x$ 不能构成三角形。②正确。
• 对于③：若 $△ABC$ 为钝角三角形，且 $c$ 为最大边，则 $a^2+b^2<c^2$。 对应函数值 $f(2)=a^2+b^2-c^2<0$。 由①知 $f(1)=a+b-c>0$。 根据零点存在性定理，$f(1)\cdot f(2)<0$，故在 $(1,2)$ 内必存在零点。③正确。

综上，正确结论的序号为 ①②③。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角形三边关系的代数表达；指数函数 $y=m^x$ ($0<m<1$) 的单调性；零点存在性定理。 2. 核心技巧：“提公因式法”。处理 $a^x+b^x-c^x$ 时，提取最大项 $c^x$ 可以将研究对象转化为单调减函数，从而简化范围讨论。 3. 结论联系：此题背景与“广义勾股定理”和费马大定理的连续化形式有关，即 $a^x+b^x=c^x$ 的解…

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：柯西中值定理在函数增长速率比较中的应用。

结论推广：对任意 $△ABC$，方程 $a^x+b^x=c^x$ 有且仅有一个实根 $x_0$。若 $△ABC$ 为直角三角形，则 $x_0=2$。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-11 单-函数单调性
• 2026-新高考II卷-13 填-函数零点
• 2015-福建卷文-16 填-函数零点